Cos'è # sqrt65 # in forma radicale semplificata?

La scomposizione in fattori primi di #65# è:

#65 = 5 * 13#

Dal momento che questo non ha fattori quadrati #sqrt(65)# non può essere semplificato.

premio

#65 = 64+1 = 8^2+1#

è nella forma #n^2+1#.

Le radici quadrate di tali numeri hanno una forma semplice di continua espansione della frazione:

#sqrt(n^2+1) = [n;bar(2n)] = n+1/(2n+1/(2n+1/(2n+1/(2n+1/(2n+1/(2n+...))))))#

Quindi nel nostro esempio:

#sqrt(65) = [8;bar(16)] = 8+1/(16+1/(16+1/(16+1/(16+1/(16+1/(16+...))))))#

È possibile ottenere approssimazioni razionali di #sqrt(65)# a qualsiasi precisione desiderata troncando presto l'espansione continua della frazione.

Per esempio:

#sqrt(65) ~~ [8;16] = 8+1/16 = 8.0625#

#sqrt(65) ~~ [8;16,16] = 8+1/(16+1/16) = 8+16/257 ~~ 8.0622568#

Il valore reale è più simile a:

#sqrt(65) ~~ 8.0622577483#