Cos'è un asintoto verticale nel calcolo?

L'asintoto verticale è un luogo in cui la funzione non è definita e il limite della funzione non esiste.

Questo perché come #1# si avvicina all'asintoto, anche piccoli cambiamenti nel #x#-valore porta a fluttuazioni arbitrariamente grandi nel valore della funzione.

Sul grafico di una funzione #f(x)#, si verifica un asintoto verticale in un punto #P=(x_0,y_0)# se l' limitare della funzione si avvicina #oo# or #-oo# as #x->x_0#.

Per una definizione più rigorosa, quella di James Stewart Calcolo, #6^(th)# edizione, ci offre quanto segue:

"Definizione: la riga x = a si chiama a asintoto verticale della curva #y=f(x)# se almeno una delle seguenti affermazioni è vera:

#lim_(x->a)f(x) = oo#
#lim_(x->a)f(x) = -oo#
#lim_(x->a^+)f(x) = oo#
#lim_(x->a^+)f(x) = -oo#
#lim_(x->a^-)f(x) = oo#
#lim_(x->a^-)f(x) = -oo#"

Nella definizione sopra, l'apice + indica il limite destro di #f(x)# as #x->a#e l'apice indica il limite sinistro.

Per quanto riguarda altri aspetti del calcolo, in generale, non si può differenziare una funzione nel suo asintoto verticale (anche se la funzione può essere differenziabile in un dominio più piccolo), né si può integrare in questo asintoto verticale, perché la funzione non è continua lì.

Ad esempio, considera la funzione #f(x) = 1/x#.

Mentre ci avviciniamo #x=0# da sinistra o destra, #f(x)# diventa arbitrariamente negativo o arbitrariamente positivo rispettivamente.

In questo caso, due delle nostre affermazioni dalla definizione sono vere: in particolare, la terza e la sesta. Pertanto, diciamo che:

#f(x) = 1/x# has a vertical asymptote at #x=0#.

Vedi l'immagine qui sotto.

fonti:
Stewart, James. Calcolo. #6^(th)# ed. Belmont: Thomson Higher Education, 2008. Stampa.