Dato f (x) = (e ^ -x) • sinx su [-pi, pi]. Identificare le intercettazioni xey, estremi locali e punti di flesso. Utilizzare queste informazioni per disegnare il grafico. Potete aiutarmi a trovare gli estremi locali?
Risposta:
Vedi sotto.
Spiegazione:
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f(x)=e^(-x)sinx, (-pi <= x <= pi)
Prepariamo y=0 per trovare l' xintercetta (s):
e^(-x)sinx=0
e^(-x)=0, :. 1/e^x=0, :. e^x=oo, :. x=oo, Questo è al di fuori del nostro intervallo.
sinx=0, :. x=-pi, 0, pi
Prepariamo x=0 per trovare l' yintercetta (s):
y=e^(-0)sin0=0
Rappresentiamo graficamente la funzione:
Come si può vedere, il x e y le intercettazioni sono verificate.
Per trovare l'estensione locale, dobbiamo prendere la prima derivata della funzione e impostarla uguale a 0. Poiché la nostra funzione è il prodotto di altre due funzioni, utilizziamo il regola del prodotto:
dy/dx=e^(-x)cosx+(-e^(-x)sinx)=e^(-x)cosx-e^(-x)sinx
e^(-x)cosx-e^(-x)sinx=0
e^(-x)(cosx-sinx)=0
e^(-x)=0, :. 1/e^x=0, :. e^x=oo, :. x=oo, Questo è al di fuori del nostro intervallo.
cosx-sinx=0
cosx=sinx
Dividiamo entrambe le parti per cosx:
tanx=1, :. x=arctan(1), :. x=pi/4, (-3pi)/4
Senza guardare il grafico, dovremmo condurre un primo test derivativo provando i valori di x a sinistra e a destra di pi/4 e (-3pi)/4 per determinare dove la funzione sta diminuendo e aumentando. Questo ci direbbe quale delle soluzioni extrema è un minimo locale e quale un massimo locale.
Ma il grafico ci mostra chiaramente questo x=(-3pi)/4 è il minimo e x=pi/4 è il massimo. Ora inseriamo ciascuno di essi nella funzione per trovare il loro y-coordinate:
x=-(3pi)/4, :. y=e^(-(-(3pi)/4))sin(-(3pi)/4)=e^((3pi)/4)sin(-(3pi)/4)=10.55(-sqrt2/2)=-7.46
x=pi/4, :. y=e^(-pi/4)sin(pi/4)=0.46(sqrt2/2)=0.33
Minimo locale (-2.36, -7.46)
Massimo locale (0.79, 0.33)
Per trovare i punti di flesso, dobbiamo prendere la seconda derivata della funzione e impostarla uguale a 0:
(d^2y)/dx^2=-e^(-x)sinx+(-e^(-x)cosx)-[(e^(-x)cosx+(-e^(-x)sinx)]
(d^2y)/dx^2=-e^(-x)sinx-e^(-x)cosx-e^(-x)cosx+e^(-x)sinx
(d^2y)/dx^2=cancelcolor(red)(-e^(-x)sinx)-e^(-x)cosx-e^(-x)cosxcancelcolor(red)(+e^(-x)sinx)
(d^2y)/dx^2=-2e^(-x)cosx
-2e^(-x)cosx=0
e^(-x)=0, :. 1/e^x=0, :. e^x=oo, :. x=oo, Questo è al di fuori del nostro intervallo.
cosx=0, :. x=pi/2, -pi/2
Questi sono la xcoordinate dei due punti di flesso. Li inseriremo nella funzione per ottenere il loro y-coordinate:
x=-pi/2, :. y=e^(-(-pi/2))sin(-pi/2)=e^(pi/2)sin(-pi/2)=4.81(-1)=-4.81
x=pi/2, :. y=e^(-pi/2)sin(pi/2)=0.21(1)=0.21
Punto di inflessione-1, (-1.57,-4.81)
Punto di inflessione-2, (1.57,0.21)
I due estremi e due punti di flesso sono verificati sul nostro grafico.