In che modo la velocità istantanea differisce dalla velocità media?

The velocità istantanea è il tasso specifico di cambiamento di posizione (o spostamento) rispetto al tempo in un singolo punto #(x,t)#, Mentre velocità media è il tasso medio di cambio di posizione (o spostamento) rispetto al tempo in un intervallo.

Graficamente, il velocità istantanea in qualsiasi momento su una funzione #x(t)# è uguale alla pendenza del linea tangente alla funzione in quella posizione. Nel frattempo, il velocità media è uguale alla pendenza del linea secante che interseca la funzione all'inizio e alla fine dell'intervallo.

In genere, di fronte a un problema, sarà abbastanza evidente se è richiesta la velocità istantanea o la velocità media. Ad esempio, supponiamo che Timothy si stia muovendo lungo una pista di qualche tipo. Supponiamo che la funzione di spostamento di Timothy #x(t)# può essere modellato come #x(t) = t^2 - 5t + 4#. Per motivi di semplicità, le unità specifiche devono essere omesse.

Se gli viene chiesto di trovare la velocità di Timothy ad un dato punto, la velocità istantanea si adatterebbe meglio. Quindi, ad un certo punto #(t_0, x_0)#, differenziamo la nostra funzione rispetto a #t#. La regola del potere ci informa che #x'(t) = 2t -5#. (Ricorda che la derivata, o velocità di variazione, della posizione (o dello spostamento) rispetto al tempo è semplicemente la velocità). Pertanto, per il nostro punto dato, #x'(t_0) = 2(t_0)-5#

Se gli viene chiesto di trovare la velocità media di Timothy nel corso di #b# unità di tempo (a partire da #t=0#), il calcolo è più semplice in quanto non abbiamo bisogno di derivati. Invece, la nostra velocità media sarà rappresentata dalla differenza tra le nostre #x# valori agli endpoint, divisi per le unità trascorse di #t#. In altre parole, la nostra formula di velocità media generale su un intervallo da #t=a# a #t=b# is

#v_(avg) = [x(b)-x(a)]/(b-a)#

In questo caso, #v_(avg) = [x(b)-x(0)]/(b-0) = [x(b) - x_0]/b#

Si noti che questo porta alla divisione per zero nei casi in cui #a=b#. Come può essere evidente, in un tale evento, troveremo la velocità istantanea invece della velocità media.