Calcolo del Determinante
Per il calcolo del determinante si riscrivono, alla destra della matrice, le prime due colonne della matrice stessa. Si moltiplicano poi i termini lungo la diagonale principale e lungo le due diagonali parallele ad essa, dopodichè si scrivono i prodotti ottenuti e si sommano tra loro.
Endomorfismi e Proprietà Fondamentali
Gli endomorfismi godono di una proprietà fondamentale: un endomorfismo è iniettivo se e solo se è suriettivo. In altri termini, un endomorfismo è un epimorfismo se e solo se è un monomorfismo, o ancora un endomorfismo è un isomorfismo se e solo se è un monomorfismo oppure un epimorfismo.
Operatori Lineari e Diagonalizzazione
Un operatore lineare è diagonalizzabile se la molteplicità geometrica di ogni autovalore è uguale alla molteplicità algebrica dello stesso. Un operatore lineare è diagonalizzabile se esiste una base dello spazio vettoriale composto dagli autovettori dell’operatore lineare.
Considerazioni Aggiuntive
Le applicazioni lineari si rappresentano in modo efficiente attraverso le matrici.
Cosa succede se il determinante è uguale a zero? Una matrice ha determinante uguale a zero se e solo se ha una riga (o una colonna) formata da soli zeri; oppure ha due righe (o due colonne) proporzionali; oppure ha una riga (o una colonna) che è combinazione lineare di altre due o più righe.
Condizione per Invertibilità degli Endomorfismi
Condizione necessaria e sufficiente affinché un endomorfismo sia invertibile è la non singolarità dell’endomorfismo stesso.