Integrazione di sinx / x da 0 a infinito?

Cerchiamo:

# I = int_0^oo sinx/x dx #

lasciare #g(x) = sinx/x => g(-x) = sin(-x)/(-x) = sinx/x #

così #g(x)# è una funzione pari e come tale:

# 2I = int_(-oo)^oo sinx/x dx #

Considera la funzione basata complessa # f(z)=e^(iz)/z #, Che ha un palo semplice a #z=0#, consideriamo quindi l'integrale del contorno:

# J = oint_C f(z) dz = oint_C e^(iz)/z dz # where #z in CC#

Dove #C# è un semicerchio di raggio #R# centrato sull'origine che si deforma all'origine con un semicerchio più piccolo di raggio #epsilon# per escludere il polo a #z = 0#e attraversiamo il contorno in senso antiorario.

L'integrando non ha poli in #C# come il palo #z = 0# è escluso nella costruzione sopra. Quindi, dal teorema di Cauchy:

# oint_C f(z) dz = 0#

Ora (in stenografia),

# oint_C f(z) dz = int_(-R)^(epsilon) + int_(gamma_epsilon) + int_(epsilon)^R + int_(Gamma_R) = 0#

Abbiamo bisogno di un preventivo per #int_(Gamma_R) f(z) dz #. Notandolo #z=Re^(i theta)# on #Gamma_R#, noi abbiamo:

# abs(int_(Gamma_R) e^(iz)/z dz) = abs(int_o^oo e^(iRcos theta-R sin theta) / (Re^(i theta)) iRe^(i theta) d theta ) #
# " " le int_0^pi e^(-Rsin theta) d theta #
# " " = 2 int_0^(pi/2) e^(-Rsin theta) d theta #
# " " le 2 int_0^(pi/2) e^((-2R theta) / pi) d theta # using #sin theta ge (2theta)/pi#
# " " = 2 [ (2e^((-2Rtheta)/pi) )/ ((-2R)/pi) ]_0^(pi/2)#
# " " = pi/R(1-e^-R)#
# " " rarr 0 # as #R rarr oo#

Dato che il piccolo cerchio #gamma_epsilon# ha l'equazione #z = r(cos theta + isin theta)# for #theta:pi rarr 0# poi

# lim_(epsilon rarr 0) int_(gamma_epsilon) f(z) dz = i lim_(epsilon rarr 0) int_pi^0 e^(-rsin theta)e^(ircos theta) dz #
# " " = -pi i #

Prendendo i due limiti #R rarr oo# e #epsilon rarr 0#e combinando tutti questi risultati, abbiamo:

# int_(-oo)^oo e^(iz)/z dz - pi i = 0 => int_(-oo)^oo (cosx+isinx)/x dx = pi i #

Equilibrando i coefficienti reali e immaginari otteniamo:

# Re: int_(-oo)^oo cosx/x dx = 0 #
# Im: int_(-oo)^oo sinx/x dx = pi #

Quindi utilizzando il risultato iniziale

# 2I = int_(-oo)^oo sinx/x dx => 2I = pi#

Quindi,

# I = pi/2 #