L'acqua fuoriesce da un serbatoio conico invertito alla velocità di 10,000 cm ^ 3 / min cm / min allo stesso tempo in cui l'acqua viene pompata nel serbatoio a velocità costante. Il serbatoio ha un'altezza di 6 metri e il diametro nella parte superiore è di 4 metri. Se il livello dell'acqua aumenta a una velocità di 20 cm / min quando l'altezza dell'acqua è di 2 m, come posso trovare la velocità con cui l'acqua viene pompata nel serbatoio?

Risposta:

(vedi sotto per il metodo di soluzione)

Spiegazione:

Inizia ignorando la perdita e determina la velocità di afflusso richiesta per raggiungere la velocità di altezza (profondità) specificata per l'aumento dell'acqua.

Più avanti useremo il fatto che
Tasso di afflusso effettivo
= Tasso di afflusso per maggiore profondità + tasso di perdita
inserisci qui la fonte dell'immagine

Per il cono dato il rapporto di r adius a h otto è $\frac{1}{3}$ $1/3$

so
$r = \frac{1}{3} h$ $r = 1/3 h$

La formula per il volume di un cono:
$V = \frac{π r^{2} h}{3}$ $V = (pi r^2 h)/3$ diventa $V = \frac{π h^{3}}{27}$ $V = (pi h^3)/(27)$

$\frac{d V}{d h} = \frac{π h^{2}}{9}$ $(d V)/(dh) = (pi h^2)/9$

Siamo interessati alla modifica del volume rispetto al tempo e notiamo che
$\frac{d V}{d t} = \frac{d V}{d h} \cdot \frac{d h}{d t}$ $(d V)/(dt) = (d V)/(dh) * (d h)/(dt)$

Utilizzando il valore che abbiamo già calcolato $\frac{d V}{d h}$ $(d V)/(dh)$ e il valore fornito di $20$ $20$ cm / min (ad un'altezza di $h = 200$ $h=200$ cm)
noi abbiamo:

$(d V)/(dt) = (pi (200 cm)^2 * (20 cm))/(9 min)$
$= (800000 pi)/9$ $cm^3$ / min
o più o meno
$279,252.7$ $cm^3$ / min

Questo è il tasso di afflusso necessario per causare l'aumento di altezza e
ignora il tasso di perdita

Il tasso di afflusso effettivo deve essere la somma di questi due:
$279,252.7$ $cm^3$ / min $+ 10,000$ $cm^3$ / min
$= 289,252.7$ $cm^3$ / min

Risposta:

Spiegazione:

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