Per quali valori di r la funzione y = # e ^ (rx) # soddisfa l'equazione differenziale 5y '' + 14y '- 3y = 0?

(b) Sostituiamo y con #ae^(r_1 x) + be^(r_2 x)#. Innanzitutto, dobbiamo capire i valori di y 'e y' '.

y = #ae^(x/5) + be^(-3x)#
y '= #1/5 ae^(x/5) - 3 be^(-3x)#
y '' = #1/25 ae^(x/5) - 9 be^(-3x)#

Ora possiamo inserire i valori nella nostra equazione differenziale 5y '' + 14y '- 3y = 0.

#5[1/25 ae^(x/5) - 9 be^(-3x)] + 14[1/5 ae^(x/5) - 3 be^(-3x)] − 3[ae^(x/5) + be^(-3x)] = 0#

#a[1/5 e^(x/5) + 14/5 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[45 e^(-3x) - 42 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0#

#a[3 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[45 e^(-3x) - 42 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0#

#a[3 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[3 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0#

a [0] + b [0] = 0

0 = 0

Poiché le soluzioni sono entrambe 0, significa che ogni membro della famiglia di funzioni in y = #ae^(r_1 x) + be^(r_2 x)# è una soluzione a 5y '' + 14y '- 3y = 0.