Come trovare la serie di Taylor di una funzione logaritmica

Come si trova la serie di Taylor di una funzione logaritmica?

Ci sono due modi ovvi. Puoi inserire le derivate nella forma generale, oppure puoi usare il fatto che [math]\ln(1+x) = \int_0^x\frac{dt}{1+t}[/math]. Perché ho usato [math]1+x[/math] (e [math]1+t[/math])? Questo è per evitare la singolarità a [math]\ln(0)[/math]. Non esiste una serie di Taylor per [math]\ln(x)[/math] in potenze di [math]x[/math]. Ma puoi trovare una serie di Taylor su qualsiasi valore positivo.

Il secondo metodo è facile, basta espandere [math]\frac1{1+t}[/math] per il binomio (o come serie geometrica) e integrare ogni termine.

Anche il primo metodo non è difficile. La derivata di [math]\ln(x)[/math] è [math]\frac1x[/math] che è [math]1[/math] quando [math]x = 1[/math]. La [math]n[/math]terza derivata è ... beh, puoi farlo e mettere [math]x = 1[/math]. Allora la serie di Taylor è [math]\ln(x) = \ln(1) + a_1 (x-1) + a_2 (x-1)^2 + \punti[/math] dove le [math]a_n[/math] sono coefficienti che dovresti calcolare tu.

Se sostituisci [math]x[/math] con [math]1+x[/math] otterrai la forma a cui ho fatto riferimento in precedenza.

Come esercizio, ora trova la serie di Taylor su [math]x = c[/math].