Come sapere qual è la torsione di una curva piana

Nella geometria differenziale elementare delle curve in tre dimensioni, la torsione di una curva misura quanto nettamente si sta torcendo fuori dal piano di curvatura. Presi insieme, la curvatura e la torsione di una curva spaziale sono analoghi alla curvatura di una curva piana. Per esempio, sono coefficienti nel sistema di equazioni differenziali per il quadro di Frenet dato dalle formule di Frenet-serret.

Sia C una curva spaziale parametrizzata dalla lunghezza dell'arco [math]{displaystyle s}[/math] e dal vettore tangente unitario t. Se la curvatura [math]{displaystyle \kappa }[/math] di C in un certo punto non è zero allora il vettore normale principale e il vettore binormale in quel punto sono i vettori unitari

[math]{displaystyle \mathbf {n} ={frac {mathbf {t} '}{kappa },\quadro \mathbf {b} = \mathbf {t} \volte \mathbf {n} ,}[/math]

dove il primo denota la derivata del vettore rispetto al parametro [math]{displaystyle s}[/math]. La torsione [math]{\displaystyle \tau }[/math] misura la velocità di rotazione del vettore binormale nel punto dato. Si trova dall'equazione

[math]{\displaystyle \mathbf {b} '=-\tau \mathbf {n} .}[/math]

che significa

[math]{\displaystyle \tau =-\mathbf {n} \cdot \mathbf {b} '.}[/math]

Ricordo: La derivata del vettore binormale è perpendicolare sia alla binormale che alla tangente, quindi deve essere proporzionale al vettore normale principale. Il segno negativo è semplicemente una questione di convenzione: è un sottoprodotto dello sviluppo storico dell'argomento.

Il raggio di torsione, spesso indicato con σ, è definito come

[math]{displaystyle \sigma ={frac {1}{\tau }.}[/math]

Rilevanza geometrica: La torsione [math]{\displaystyle \displaystyle \tau (s)}[/math] misura la rotazione del vettore binormale. Più grande è la torsione, più velocemente il vettore binormale ruota intorno all'asse dato dal vettore tangente (vedi illustrazioni grafiche). Nella figura animata la rotazione del vettore binormale è chiaramente visibile ai picchi della funzione di torsione.