Quanti numeri tra 1 e 100 (inclusi) sono divisibili per 3 o 2?

Ecco una buona occasione per imparare l'inclusione-esclusione. Non è niente di sofisticato, ma se devi "contare" qualcosa di complicato, dividilo in problemi più facili che puoi contare. Il trucco è sapere se hai contato tutto quello che ti serve - troppe volte o non abbastanza volte?

Iniziamo con un'immagine, sì, è un diagramma di Venn:

e mettiamoci dentro i nostri numeri. Tutti i numeri divisibili per 2, li metteremo nel cerchio di sinistra. Tutti i numeri divisibili per 3, vanno nel cerchio di destra. E - nessuna sorpresa - ci saranno alcuni numeri in entrambi.

Cosa va nel cerchio di sinistra? 2, 4, 6, ... speriamo non sia una sorpresa che ci siano 50 numeri nel cerchio di sinistra.

Cosa va nel cerchio di destra? 3, 6, 9, ... di nuovo, spero sia abbastanza evidente che ci sono 33 numeri nel cerchio di destra.

Quindi, 50+33, giusto? Beh, non proprio. Ci saranno alcuni numeri che sono stati contati due volte, quelli in entrambi i cerchi, divisibili per 2 e 3. Piuttosto bene, abbiamo trasformato un problema su o in un problema su e. Quindi quali numeri vanno nella zona rossa? Quelli divisibili per 6. 6, 12, .... 16 di questi. Il nostro 50+33 ha contato questi numeri due volte. Per tornare a contarli una volta, dobbiamo sottrarre quelli. 50 + 33 - 16 = 67.

Il principio di inclusione-esclusione può essere usato con qualsiasi numero di "proprietà" - supponiamo che ci siano [math]N[/math] oggetti, ognuno dei quali potrebbe avere qualsiasi (o tutte) le [math]P[/math] proprietà. Di solito è molto più facile contare quanti degli oggetti hanno qualche combinazione nota ("e"), piuttosto che diverse opzioni ("o") - ma alla seconda domanda si può rispondere aggiungendo e sottraendo le giuste combinazioni della prima.