Qual è una buona spiegazione dell'equazione di Dirac?

Dirac ha fissato l'equazione dell'energia relativistica.

[math]\hat{H}^2 = p^2c^2 + m^2 c^4[/math]

E ha chiesto se posso prendere la radice quadrata dell'equazione? Posso trovare un'equazione che sia del primo ordine nel tempo, come l'equazione di Schrodinger non relativistica?

[math]i\hbar\frac{\parziale t} = \hat{H}[/math]

Posso trovare un'equazione [math]\hat{H},[/math]tale che se la squadro ottenga la prima equazione sopra?

Supponiamo di aver indovinato come Dirac

[math]\hat{H} = \vec{alpha} \cdot \vec{p} \, c+ \beta m c^2[/math]

Dove

[math]\vec{\alpha} \cdot \vec{p},c = \sum_{i} \alpha_i \, p_i c[/math]

Per quadrare

[math]\hat{H}^2 = (\vec{alpha} \cdot \vec{p} c + \beta m c^2)^2[/math]

[math]\hat{H}^2 = \sum_{i\neq j\,j} (\alpha_i \alpha_j +\alpha_j \alpha_i) p_i p_j c^2 + \sum_{i} \alpha_i^2 p_i^2 c^2 + \sum_{i} (\alpha_i \beta + \beta \alpha_i) p_i m c^3 + \beta^2 m^2c^4[/math]

Ora il genio di Dirac guardò quanto sopra e disse so cosa [math]H^2[/math] dovrebbe essere e quindi questi [math]\alpha[/math] e [math]\beta[/math] devono essere matrici e non numeri e so che devono essere matrici perché l'equazione di cui sopra mi dice che questi coefficienti sono anticommutati. Se fossero numeri l'equazione di cui sopra funzionerebbe solo per [math]\alpha_i = \beta = 0[/math]. Quindi, supponiamo che siano matrici. Allora abbiamo bisogno di 4 matrici [math]\alpha_x , \alpha_y, \alpha_z, \beta \}[/math]. Devo anche richiedere che il quadrato delle matrici sia l'identità in modo da poter recuperare la relazione di energia relativistica.

Pensiamo a [math]\alpha_i^2 =1[/math]

Supponiamo che [math]x [/math] sia un autovettore di [math]\alpha_i[/math] con autovalore [math]\lambda[/math]

[math]\alpha_i^2 =1 \implica (\alpha_i^2 -1)x = 0[/math]

[math](\lambda^2 -1)x =0[/math]

Il quadrato della matrice che dà identità ci dice che gli autovalori della matrice sono 1 e -1.

Hey questo significa che le matrici che stiamo considerando sono ermitiane. [math]\alpha_i^\dagger =\alpha_i[/math]

L'anticommutazione ci dice qualcosa di più

[math]\alpha_i \alpha_j = -\alpha_j \alpha_i[/math]

Lasciamo che's colpisca entrambi i lati a sinistra di [math]\alpha_i^\dagger[/math]

[math]\alpha_i^\dagger\alpha_i \alpha_j = -\alpha_i^\dagger\alpha_j \alpha_i[/math]

[math]\alpha_i^2 \alpha_j = -\alpha_i^\dagger\alpha_j \alpha_i[/math]

[math]\alpha_j = -\alpha_i^\dagger\alpha_j \alpha_i[/math]

La traccia è invariante sotto qualsiasi trasformazione di similarità.

Se prendiamo la traccia della sinistra e della destra dovrebbero essere uguali, ma otteniamo che la traccia è uguale al negativo di se stessa, il che significa che la traccia è zero.

Allora, ora pensiamo... abbiamo bisogno di 4 matrici... quando le squadriamo danno identità e sono anticommutate.... E devono essere senza traccia. Puzzano come se dovessero essere matrici di pauli! Solo che abbiamo 3 matrici pauli, ma l'identità. Allora [math]2\times2[/math] l'identità non è senza traccia. Il requisito che abbiamo scoperto ci dice che abbiamo bisogno come minimo di [math]4 volte 4[/math] matrici. ([math]3 volte 3[/math] non basterà, con autovalori che sono [math]\pm1[/math] ci imbatteremmo nel problema di avere [math]3 volte 3[/math] matrici con traccia [math]\pm1[/math]). Pertanto, [math]4 volte 4[/math] è la dimensione più piccola per la quale possiamo costruire una soluzione. Intelligentemente, possiamo costruire tali matrici che hanno blocchi delle matrici di Pauli.

Così, abbiamo motivato l'equazione di Dirac.

[math]\hat{H} = \vec{alpha} \cdot \vec{p} \,c + \beta mc^2[/math]