La radice quadrata di qualsiasi numero è sempre positiva?

Lo presenterò come se tutti fossero d'accordo, il che non è proprio vero.

Ogni numero, reale o complesso, ha due radici quadrate che sono negazioni l'una dell'altra. L'eccezione è lo zero, che è la sua negazione.

Il dominio della radice quadrata può essere quello dei numeri reali o dei numeri complessi, e le convenzioni sono leggermente diverse. Concentriamoci prima sulla radice quadrata dei numeri reali.

Il segno radicale [math]\sqrt{x}[/math] applicato a un numero reale denota la radice quadrata principale o positiva. Se [math]x\ge 0[/math] allora [math]\sqrt{x} \ge 0.[/math] Quindi, per rispondere alla domanda con delle qualifiche, la radice quadrata principale di un numero positivo è sempre positiva, per definizione.

La radice quadrata principale di un reale negativo è un reale positivo per [math]i.[/math] Anche se i numeri complessi non sono ordinati, c'è un importante ordinamento sull'asse immaginario analogo a quello sull'asse reale.

Quando si parla di "radice quadrata" ci si riferisce solitamente alla radice quadrata principale. Quando si parla di "una radice quadrata" si intende l'una o l'altra. In questa domanda l'OP non fornisce un articolo, quindi nessun aiuto qui.

Quando abbiamo a che fare con radici quadrate di numeri reali, è molto importante capire

[matematica]\sqrt{x} \ne \pm \sqrt{x}[/math]

Quando il dominio è reale, [math]\sqrt{x}[/math] è una funzione da numeri reali a complessi. Assume un unico valore per ogni reale [math]x.[/math] È sempre o 0, un numero reale positivo, o un numero reale positivo per [math]i.[/math] È una delle due radici quadrate che è stata definita essere la radice quadrata principale.

A meno che i valori principali non siano esplicitamente richiesti, la radice quadrata di un numero complesso [math]\sqrt{z}[/math] dovrebbe essere trattata come un'espressione multivaluta. Quindi qui direi [math]\sqrt{z}=pm \sqrt{z}.[/math]

Quando vogliamo esplicitamente l'espressione multivalore, l'espressione si riferisce ad entrambe le radici quadrate, sia [math]w[/math] tale che [math]w^2=z.[Io preferisco [math] \pm \sqrt{z}.[/math] Ma [math]\pm[/math] può creare confusione e ambiguità, quindi può andare in entrambi i modi.

Più polemicamente, tratto il numero naturale reciproco come esponente, [math]z^{\frac 1 2},[/math] come l'espressione multivaluta che si riferisce a tutte le radici, non una funzione.

Esattamente cosa significhi l'uguaglianza delle espressioni multivaluta è di solito sorvolato, specialmente il fastidioso problema che [math]1^{\frac 1 2} \ne 1^{\frac 2 4}.[/math] Forse.