Qual è la tua equazione matematica preferita e perché?

Ah, insonnia. Ho letto le risposte. Non so perché mi dà fastidio quando le persone si meravigliano dell'identità di Eulero quando non sanno cosa significhi. Lascia perdere, Dean.

La mia equazione preferita è per l'area di un triangolo in termini dei suoi lati quadrati. È relativamente sconosciuta e generalmente molto più utile e molto più perspicace della Formula di Heron.

Teorema di Archimede: Dato un triangolo con i lati quadrati [math]A,B,C[/math] l'area [math]S[/math] soddisfa

[math]16S^2 = 4AB-(A+B-C)^2[/math]

Cosa possiamo dire di questo? L'area di un triangolo è la stessa indipendentemente dal lato chiamato [math]C[/math], quindi dobbiamo avere

[math]16S^2 = 4AB-(A+B-C)^2 \\qquad = 4BC-(B+C-A)^2 \qquad = 4AC-(A+C-B)^2[/math]

C'è una forma più simmetrica che è divertente da ricavare. È

[math]16S^2 = (A+B+C)^2 - 2(A^2+B^2+C^2)[/math]

Secondo, ci dà un po' di teoria dei numeri sulle aree dei triangoli. Vediamo che se i lati al quadrato di un triangolo sono razionali, lo è anche l'area al quadrato. Questo è un po' difficile da vedere dalla Formula di Heron. Se i lati quadrati sono numeri naturali, l'area quadrata è un numero naturale diviso 16.

In terzo luogo, ci dice che se fissiamo due lati, diciamo [math]A[/math] e [math]B[/math], l'area massima del triangolo è quando [math]A+B-C=0[/math] come [math]16S^2 = 4AB-(A+B-C)^2.[/math] Ma [math]A+B-C=0[/math] è il teorema di Pitagora ([math]a^2+b^2=c^2[/math]) quindi l'area è massimizzata quando abbiamo un triangolo rettangolo con gambe quadrate [math]A[/math] e [math]B.[/math]

Quarto, il triangolo ad area zero, ovvero il triangolo degenere formato da tre punti collineari, ha un'identità che è il duale del Teorema di Pitagora chiamato Formula del Triplo Quad:

[math]4AB = (A+B-C)^2[/math]

o più simmetricamente,

[math](A+B+C)^2=2(A^2+B^2+C^2)[/math]

Mostreremo che questo è equivalente a

[math]\pm A^{\frac 1 2} \pm B^{\frac 1 2} = \pm C^{\frac 1 2}[/math]

che sembra un doppio del Teorema di Pitagora. Le radici quadrate dei lati al quadrato sono le lunghezze dei lati. In questa forma con tutti i [math]\pm[/math] esprime la collinearità senza esprimere l'interasse. Al quadrato,

[math]A + B \pm 2(AB)^{\frac 1 2} = C[/math]

[math]A+B-C = \pm 2(AB)^{frac 1 2}[/math]

[math](A+B-C)^2 = 4AB \quad\checkmark[/math]

Quinto, è una formula utile per l'area di un triangolo date [math]N[/math] coordinate dimensionali. I metodi standard funzionano per due e tre dimensioni ma hanno difficoltà con i triangoli di dimensioni superiori.

Sesto, la formula di Heron è semplice. Sia [math]A=a^2, B=b^2, C=c^2[/math]

[math]16S^2 = 4AB-(A+B-C)^2 = 4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2)^2[/math]

Usiamo la differenza di due quadrati tre volte:

[math]16S^2 = (2ab + a^2+b^2-c^2)(2ab - a^2 - b^2 + c^2)[/math]

[math]16S^2 = ((a+b)^2-c^2)(c^2 - (a-b)^2)[/math]

[math]16S^2 = (a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)[/math]

Ordina le lettere, questa bella forma simmetrica, una disuguaglianza algebrica a triangolo, è una sostituzione diretta di Heron e vale la pena ricordarla:

[math]16S^2 = (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)[/math]

Questo è vero anche se alcuni dei lati hanno lunghezza negativa; come abbiamo visto è il loro quadrato che conta. Ancora [math]16S^2>0[/math] è un triangolo reale, [math]16S^2=0[/math] è un triangolo degenere, tre punti collineari, e [math]16S^2<0[/math] è un triangolo impossibile, area immaginaria, che non soddisfa la disuguaglianza dei triangoli (con [math]|a|,|b[/math]| e [math]|c|[/math]).

Si continua. Sia [math]s=\frac 1 2(a+b+c)[/math]

[math]16S^2 = (2s)(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)[/math]

[math]S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}[/math]

Questa è la formula di Heron, and it’s easy to work this backwards to prove Archimedes’ Theorem from Heron, one of many paths.

I’m still awake, hmmm.