Come determinare se un'equazione è una funzione o no

Un'equazione è una dichiarazione che due cose sono uguali in valore.

Una funzione è una mappatura da un insieme ad un altro tale che niente nel primo insieme è mappato a più di una cosa nel secondo insieme.

Sono concetti completamente diversi; un'equazione non è mai una funzione, e viceversa.

Questo non significa che un'equazione non possa implicare l'esistenza di una funzione. Per esempio, l'equazione [math]5x+4y = 2[/math] è un'equazione per una linea. Ci sono molte equazioni che soddisfano quella linea, tra l'altro. Implica anche che [math]y[/math] può essere trattata come una funzione di [math]x[/math]: per ogni possibile valore di [math]x[/math], c'è un singolo valore di [math]y[/math] per cui quell'equazione vale. In alternativa, implica che [math]x[/math] può essere trattato come una funzione di [math]y[/math], per ragioni analoghe.

Alcuni casi sono complicati. Per esempio, l'equazione [math]x^2+y^2 = 25[/math] è l'equazione di un cerchio centrato sull'origine di raggio 5. Non implica una relazione funzionale tra [math]x[/math] e [math]y[/math]. Per qualsiasi valore di [math]-5

C'è un teorema chiamato teorema della funzione implicita che può aiutare a determinare se un'equazione implica o meno l'esistenza di una funzione.