C'è qualche alternativa per "Per favore fatemi sapere"?

Sì. Si può anche dire, "Gentilmente, informami".

Anche, "Sei pregato di informarmi (di questo)".

Addendum: Questo messaggio qui sotto, è per una collega utente di Quora, la signora Lucille, che è stata così gentile da prendere il tempo di suggerire modifiche alla mia risposta -

Rispettata Signora,

1). Evita gentilmente di sabotare il contenuto di altri utenti di Quora (il mio, in questo caso).

2). Generi gentilmente il suo proprio contenuto.

3). Sono umilmente in disaccordo con te riguardo a questa particolare domanda.

4). Il Regno Unito non è l'arbitro universale dell'inglese. In Inghilterra, ci sono almeno quattro dozzine di dialetti inglesi e anche il gallese, il gaelico e il celtico sono lingue parlate oltre all'inglese.

5). Non si possono e non si devono fare congetture sull'origine di una persona solo a causa della sua identità e cercare di guardare oltre e su ciò che porta in tavola piuttosto che sulla sua provenienza. È semplicemente poco intelligente e razzista farlo. Sarebbe altrettanto offensivo per me pensare che qualcuno venga da Israele solo perché ha un certo cognome.

6). L'inglese o qualsiasi altra lingua non sono beni di proprietà di una persona o di un paese.

7).La convinzione che qualche espressione sia "fuori moda" è comica. Chiunque è libero di usare il vernacolo di sua scelta o inclinazione, che sia del Regno Unito o di qualsiasi altro paese e i verdetti che alcune espressioni siano "antiquate" sono astratti e soggettivi.

8). Il Regno Unito non se la cava bene nemmeno nella conoscenza dell'inglese. Il livello di inglese della popolazione britannica non solo si sta deteriorando, ma anche la società di miglioramento dell'inglese della Regina, "Quest", non ha potuto riparare lo stato di esso e la società è stata infine sciolta.

9). Con tutto il rispetto e la massima umiltà, non userei mai l'espressione che mi è stata gentilmente suggerita.