Qual è l'uso pratico nella vita reale di permutazione e combinazione?

Ecco un paio di esempi. In primo luogo, chiunque stia leggendo questo dovrebbe sapere che una permutazione si riferisce ad una disposizione (cioè l'ordine conta), e una combinazione si riferisce alla scelta di un gruppo di elementi (cioè l'ordine non conta).

1) Sei un giudice in un concorso di bellezza per gatti. Ci sono 50 gatti, e devi scegliere il più bello, il 2° più bello e il 3° più bello. (Il nostro dolce gatto, Persia, non è disponibile, perché non sarebbe giusto). In quanti modi potete farlo?

RISPOSTA: Notate che qui l'ordine conta, quindi questo è un problema di permutazione. Ci sono [matematica]50[/matica] modi per scegliere il gatto più carino, [matematica]49[/matica] modi per scegliere il 2° più carino, e [matematica]48[/matica] modi per scegliere il 3° più carino. Quindi ci sono [math]50*49*48[/math] modi di scegliere questi gatti.

In generale, il numero di modi di permutare (disporre) r elementi da un insieme di n elementi è [math]\frac{n!}{(n-r)!}[/math].

2) Vuoi comprare 3 gatti da un negozio di animali che ha 50 gatti. In quanti modi puoi farlo?

RISPOSTA: Si noti che qui l'ordine non ha importanza, quindi questo è un problema di combinazione. (Matematicamente, stiamo chiedendo quanti sottoinsiemi di dimensione [math]3[/math] ci sono da un insieme di dimensione [math]50[/math]).

Un modo per rispondere a questo è pensare prima come se l'ordine avesse importanza. Probabilmente lo faresti comunque scegliendo il tuo 1° gatto, il tuo 2° gatto e il tuo 3° gatto. Quindi si otterrebbe la stessa risposta di cui sopra: [math]50*49*48[/math]. Ma avreste potuto scegliere questi gatti in qualsiasi ordine. Quindi dovete dividere questo risultato per il numero di modi in cui questi [math]3[/math] gatti possono essere ordinati. E questo è [math]3*2*1[/math]. Quindi la risposta finale è [math]\frac{50*49*48}{3*2*1}[/math].

In generale, il numero di modi per scegliere [math]r[/math] elementi da un insieme di [math]n[/math] elementi è [math]\frac{n!}{(n-r)!r!}[/math]. Questo è chiamato coefficiente binomiale ed è solitamente scritto come [math]\binom{n}{r}[/math].