Qual è la derivata di -sin (x) −sin(x)?
La risposta precedente contiene errori. Ecco la derivazione corretta.
Prima di tutto, il segno meno davanti a una funzione f(x)=-sin(x)f(x)=−sin(x), quando si prende un derivato, cambierebbe il segno di un derivato di una funzione f(x)=sin(x)f(x)=sin(x) al contrario. Questo è un teorema facile nella teoria dei limiti: il limite di una costante moltiplicato per una variabile è uguale a questa costante moltiplicata per un limite di una variabile. Quindi, troviamo la derivata di f(x)=sin(x)f(x)=sin(x) e poi moltiplicalo per -1−1.
Dobbiamo partire dalla seguente affermazione sul limite della funzione trigonometrica f(x)=sin(x)f(x)=sin(x) poiché il suo argomento tende a zero:
lim_(h->0)sin(h)/h=1limh→0sin(h)h=1
La prova di ciò è puramente geometrica e si basa sulla definizione di una funzione sin(x)sin(x). Ci sono molte risorse Web che contengono una prova di questa affermazione, come La pagina matematica.
Usando questo, possiamo calcolare una derivata di f(x)=sin(x)f(x)=sin(x):
f'(x)=lim_(h->0) (sin(x+h)-sin(x))/hf'(x)=limh→0sin(x+h)−sin(x)h
Utilizzando la rappresentazione di una differenza di sinsin funziona come un prodotto di sinsin e coscos (Vedi Unizor , Trigonometria - Trig Sum of Angles - Problemi 4),
f'(x)=lim_(h->0) (2*sin(h/2)cos(x+h/2))/hf'(x)=limh→02⋅sin(h2)cos(x+h2)h
f'(x)=lim_(h->0) sin(h/2)/(h/2)*lim_(h->0)cos(x+h/2)f'(x)=limh→0sin(h2)h2⋅limh→0cos(x+h2)
f'(x)=1*cos(x)=cos(x)f'(x)=1⋅cos(x)=cos(x)
Pertanto, derivato di f(x)=-sin(x)f(x)=−sin(x) is f'(x)=-cos(x)f'(x)=−cos(x).