Qual è la derivata di # -sin (x) #?

La risposta precedente contiene errori. Ecco la derivazione corretta.

Prima di tutto, il segno meno davanti a una funzione #f(x)=-sin(x)#, quando si prende un derivato, cambierebbe il segno di un derivato di una funzione #f(x)=sin(x)# al contrario. Questo è un teorema facile nella teoria dei limiti: il limite di una costante moltiplicato per una variabile è uguale a questa costante moltiplicata per un limite di una variabile. Quindi, troviamo la derivata di #f(x)=sin(x)# e poi moltiplicalo per #-1#.

Dobbiamo partire dalla seguente affermazione sul limite della funzione trigonometrica #f(x)=sin(x)# poiché il suo argomento tende a zero:
#lim_(h->0)sin(h)/h=1#

La prova di ciò è puramente geometrica e si basa sulla definizione di una funzione #sin(x)#. Ci sono molte risorse Web che contengono una prova di questa affermazione, come La pagina matematica.

Usando questo, possiamo calcolare una derivata di #f(x)=sin(x)#:
#f'(x)=lim_(h->0) (sin(x+h)-sin(x))/h#
Utilizzando la rappresentazione di una differenza di #sin# funziona come un prodotto di #sin# e #cos# (Vedi Unizor , Trigonometria - Trig Sum of Angles - Problemi 4),
#f'(x)=lim_(h->0) (2*sin(h/2)cos(x+h/2))/h#
#f'(x)=lim_(h->0) sin(h/2)/(h/2)*lim_(h->0)cos(x+h/2)#
#f'(x)=1*cos(x)=cos(x)#

Pertanto, derivato di #f(x)=-sin(x)# is #f'(x)=-cos(x)#.