Qual è la pendenza della linea tangente al grafico di # y = ln (x / 2) # at x = 4?

Innanzitutto, trova il punto che la linea tangente intercetterà collegandosi #x=4#.

#y=ln(4/2)=ln(2)#

Il punto di tangenza è #(4,ln(2))#.

differenziando #y# sarà più semplice se utilizziamo la seguente regola del logaritmo:

#ln(a/b)=ln(a)-ln(b)#

Pertanto, possiamo ridefinire la funzione come

#y=ln(x)-ln(2)#

Quando lo differenziamo, ricordiamolo #ln(2)# è una costante e può essere ignorata. Pertanto, il derivato di #y# è equivalente al solo derivato di #ln(x)#, Che ha #1"/"x#.

#y'=1/x#

La pendenza della linea tangente è uguale al valore della derivata quando #x=4#, Che ha

#y'=1/4#

Sappiamo che la linea tangente ha una pendenza #1"/"4# e passa attraverso il punto #(4,ln(2))#. Questi possono essere correlati come una linea in forma punto-pendenza:

#y-ln(2)=1/4(x-4)#

Che può essere riscritto come

#y=1/4x-1+ln(2)#

Sono rappresentati graficamente la funzione e la sua linea tangente:

graph{(y-ln(x/2))(y-ln(2)-(x-4)/4)=0 [-2.48, 13.32, -4.53, 3.37]}