Qual è la radice quadrata di 42?

#42=2*3*7# non ha fattori quadrati, quindi #sqrt(42)# non può essere semplificato. è un numero irrazionale tra #6# e #7#

Si noti che #42 = 6*7 = 6(6+1)# è nella forma #n(n+1)#

I numeri di questa forma hanno radici quadrate con una semplice espansione continua della frazione:

#sqrt(n(n+1)) = [n;bar(2,2n)] = n + 1/(2+1/(2n+1/(2+1/(2n+1/(2+...)))))#

Quindi nel nostro esempio abbiamo:

#sqrt(42) = [6;bar(2, 12)] = 6+1/(2+1/(12+1/(2+1/(12+1/(2+...)))))#

Possiamo troncare precocemente la frazione continua (preferibilmente poco prima di una delle #12#per ottenere buone approssimazioni razionali per #sqrt(42)#.

Per esempio:

#sqrt(42) ~~ [6;2,12,2] = 6+1/(2+1/(12+1/2)) = 337/52 = 6.48bar(076923)#

#sqrt(42) ~~ [6;2,12,2,12,2] = 6+1/(2+1/(12+1/(2+1/(12+1/2)))) = 8479/1350 = 6.48bar(074) ~~ 6.4807407#

Questa approssimazione avrà approssimativamente tante cifre significative quanto la somma delle cifre significative del numeratore e del denominatore, quindi fermarsi dopo #7# decimali.