Qual è la radice quadrata di -49?
Risposta:
sqrt(-49) = 7i√−49=7i
Spiegazione:
Una radice quadrata di un numero nn è un numero xx così x^2 = nx2=n
Si noti che se xx è un numero reale quindi x^2 >= 0x2≥0.
Quindi qualsiasi radice quadrata di -49−49 non è un numero reale.
Per poter ottenere radici quadrate di numeri negativi, abbiamo bisogno di numeri complessi.
Ecco dove il numero misterioso ii entra in gioco. Questa è chiamata unità immaginaria e ha la proprietà:
i^2 = -1i2=−1
So ii è una radice quadrata di -1−1. Nota che -i−i è anche una radice quadrata di -1−1, da:
(-i)^2 = (-1*i)^2 = (-1)^2*i^2 = 1*(-1) = -1(−i)2=(−1⋅i)2=(−1)2⋅i2=1⋅(−1)=−1
Quindi troviamo:
(7i)^2 = 7^2*i^2 = 49*(-1) = -49(7i)2=72⋅i2=49⋅(−1)=−49
So 7i7i è una radice quadrata di -49−49. Nota che -7i−7i è anche una radice quadrata di -49−49.
Cosa intendiamo per il radice quadrata di -49−49
Per valori positivi di nn, il la radice quadrata viene generalmente considerata la radice quadrata principale sqrt(n)√n, che è quello positivo.
Per valori negativi di nn, le radici quadrate sono entrambi multipli di ii, quindi né positivo né negativo, ma possiamo definire:
sqrt(n) = i sqrt(-n)√n=i√−n
Con questa definizione, la principale radice quadrata di -49−49 è:
sqrt(-49) = i sqrt(49) = 7i√−49=i√49=7i
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Nota
La domanda rimane: dove si trova ii vieni?
È possibile definire formalmente numeri complessi, come coppie di numeri reali con regole per l'aritmetica come questa:
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a, b) * (c, d) = (ac-bd, ab+cd)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ab+cd)
Queste regole per l'aggiunta e la moltiplicazione lavoro come previsto con commutatività, distribuzione, ecc.
Quindi i numeri reali sono solo numeri complessi del modulo (a, 0)(a,0) e troviamo:
(0, 1)*(0, 1) = (-1, 0)(0,1)⋅(0,1)=(−1,0)
Cioè (0, 1)(0,1) è una radice quadrata di (-1, 0)(−1,0)
Quindi possiamo definire i = (0, 1)i=(0,1) e:
(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a+bi(a,b)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi