Qual è la radice quadrata di -49?

Una radice quadrata di un numero #n# è un numero #x# così #x^2 = n#

Si noti che se #x# è un numero reale quindi #x^2 >= 0#.

Quindi qualsiasi radice quadrata di #-49# non è un numero reale.

Per poter ottenere radici quadrate di numeri negativi, abbiamo bisogno di numeri complessi.

Ecco dove il numero misterioso #i# entra in gioco. Questa è chiamata unità immaginaria e ha la proprietà:

#i^2 = -1#

So #i# è una radice quadrata di #-1#. Nota che #-i# è anche una radice quadrata di #-1#, da:

#(-i)^2 = (-1*i)^2 = (-1)^2*i^2 = 1*(-1) = -1#

Quindi troviamo:

#(7i)^2 = 7^2*i^2 = 49*(-1) = -49#

So #7i# è una radice quadrata di #-49#. Nota che #-7i# è anche una radice quadrata di #-49#.

Cosa intendiamo per il radice quadrata di #-49#

Per valori positivi di #n#, il la radice quadrata viene generalmente considerata la radice quadrata principale #sqrt(n)#, che è quello positivo.

Per valori negativi di #n#, le radici quadrate sono entrambi multipli di #i#, quindi né positivo né negativo, ma possiamo definire:

#sqrt(n) = i sqrt(-n)#

Con questa definizione, la principale radice quadrata di #-49# è:

#sqrt(-49) = i sqrt(49) = 7i#

#color(white)()#
Nota

La domanda rimane: dove si trova #i# vieni?

È possibile definire formalmente numeri complessi, come coppie di numeri reali con regole per l'aritmetica come questa:

#(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)#

#(a, b) * (c, d) = (ac-bd, ab+cd)#

Queste regole per l'aggiunta e la moltiplicazione lavoro come previsto con commutatività, distribuzione, ecc.

Quindi i numeri reali sono solo numeri complessi del modulo #(a, 0)# e troviamo:

#(0, 1)*(0, 1) = (-1, 0)#

Cioè #(0, 1)# è una radice quadrata di #(-1, 0)#

Quindi possiamo definire #i = (0, 1)# e:

#(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a+bi#