Qual è l'integrale di #int sin ^ 4 (x) dx #?

Questo integrale riguarda principalmente una riscrittura intelligente delle tue funzioni. Come regola generale, se la potenza è pari, usiamo la formula del doppio angolo. La formula del doppio angolo dice:
#sin^2(theta)=1/2(1-cos(2theta))#

Se dividiamo il nostro integrale in questo modo,
#int sin^2(x)*sin^2(x) dx#

Possiamo usare due volte la formula del doppio angolo:
#int 1/2(1-cos(2x))*1/2(1-cos(2x)) dx#

Entrambe le parti sono uguali, quindi possiamo semplicemente metterlo come un quadrato:
#int (1/2(1-cos(2x)))^2 dx#

In espansione, otteniamo:
#int 1/4(1-2cos(2x)+cos^2(2x)) dx#

Possiamo quindi usare l'altra formula a doppio angolo
#cos^2(theta)=1/2(1+cos(2theta))#
per riscrivere l'ultimo termine come segue:
#1/4int 1-2cos(2x)+1/2(1+cos(4x)) dx=#

#=1/4(int 1 dx-int 2cos(2x) dx+1/2int 1+cos(4x) dx)=#

#=1/4(x-int 2cos(2x) dx+1/2(x+int cos(4x) dx))#

Chiamerò l'integrale sinistro tra parentesi Integrale 1 e il diritto su Integrale 2.

Integrale 1
#int 2cos(2x) dx#

Guardando l'integrale, abbiamo la derivata dell'interno, #2# al di fuori della funzione, e questo dovrebbe immediatamente suonare un campanello che dovresti usare la sostituzione u.

Se lo lasciamo #u=2x#, il derivato diventa #2#, quindi ci dividiamo per #2# per integrarsi rispetto a #u#:
#int (cancel(2)cos(u))/cancel(2) du#

#int cos(u) du=sin(u)=sin(2x)#

Integrale 2
#int cos(4x) dx#

Non è così ovvio qui, ma possiamo anche usare la sostituzione u qui. Possiamo lasciare #u=4x#e il derivato sarà #4#:
#1/4int cos(u) dx=1/4sin(u)=1/4sin(4x)#

Completamento dell'integrale originale
Ora che conosciamo Integral 1 e Integral 2, possiamo ricollegarli alla nostra espressione originale per ottenere la risposta finale:
#1/4(x-sin(2x)+1/2(x+1/4sin(4x)))+C=#

#=1/4(x-sin(2x)+1/2x+1/8sin(4x))+C=#

#=1/4x-1/4sin(2x)+1/8x+1/32sin(4x)+C=#

#=3/8x-1/4sin(2x)+1/32sin(4x)+C#