Qual è l'integrale di $\int {sin}^{4} (x) d x$ $int sin ^ 4 (x) dx$ ?

Risposta:

$\int {sin}^{4} (x) d x = \frac{3}{8} x - \frac{1}{4} sin (2 x) + \frac{1}{32} sin (4 x) + C$ $int sin^4(x) dx=3/8x-1/4sin(2x)+1/32sin(4x)+C$

Spiegazione:

Questo integrale riguarda principalmente una riscrittura intelligente delle tue funzioni. Come regola generale, se la potenza è pari, usiamo la formula del doppio angolo. La formula del doppio angolo dice:
${sin}^{2} (θ) = \frac{1}{2} (1 - cos (2 θ))$ $sin^2(theta)=1/2(1-cos(2theta))$

Se dividiamo il nostro integrale in questo modo,
$\int {sin}^{2} (x) \cdot {sin}^{2} (x) d x$ $int sin^2(x)*sin^2(x) dx$

Possiamo usare due volte la formula del doppio angolo:
$\int \frac{1}{2} (1 - cos (2 x)) \cdot \frac{1}{2} (1 - cos (2 x)) d x$ $int 1/2(1-cos(2x))*1/2(1-cos(2x)) dx$

Entrambe le parti sono uguali, quindi possiamo semplicemente metterlo come un quadrato:
$\int {(\frac{1}{2} (1 - cos (2 x)))}^{2} d x$ $int (1/2(1-cos(2x)))^2 dx$

In espansione, otteniamo:
$\int \frac{1}{4} (1 - 2 cos (2 x) + {cos}^{2} (2 x)) d x$ $int 1/4(1-2cos(2x)+cos^2(2x)) dx$

Possiamo quindi usare l'altra formula a doppio angolo
${cos}^{2} (θ) = \frac{1}{2} (1 + cos (2 θ))$ $cos^2(theta)=1/2(1+cos(2theta))$
per riscrivere l'ultimo termine come segue:
$\frac{1}{4} \int 1 - 2 cos (2 x) + \frac{1}{2} (1 + cos (4 x)) d x =$ $1/4int 1-2cos(2x)+1/2(1+cos(4x)) dx=$

$= \frac{1}{4} (\int 1 d x - \int 2 cos (2 x) d x + \frac{1}{2} \int 1 + cos (4 x) d x) =$ $=1/4(int 1 dx-int 2cos(2x) dx+1/2int 1+cos(4x) dx)=$

$= \frac{1}{4} (x - \int 2 cos (2 x) d x + \frac{1}{2} (x + \int cos (4 x) d x))$ $=1/4(x-int 2cos(2x) dx+1/2(x+int cos(4x) dx))$

Chiamerò l'integrale sinistro tra parentesi Integrale 1 e il diritto su Integrale 2.

Integrale 1
$\int 2 cos (2 x) d x$ $int 2cos(2x) dx$

Guardando l'integrale, abbiamo la derivata dell'interno, $2$ $2$ al di fuori della funzione, e questo dovrebbe immediatamente suonare un campanello che dovresti usare la sostituzione u.

Se lo lasciamo $u = 2 x$ $u=2x$ , il derivato diventa $2$ $2$ , quindi ci dividiamo per $2$ $2$ per integrarsi rispetto a $u$ $u$ :
$\int \frac{2 cos (u)}{2} d u$ $int (cancel(2)cos(u))/cancel(2) du$

$\int cos (u) d u = sin (u) = sin (2 x)$ $int cos(u) du=sin(u)=sin(2x)$

Integrale 2
$\int cos (4 x) d x$ $int cos(4x) dx$

Non è così ovvio qui, ma possiamo anche usare la sostituzione u qui. Possiamo lasciare $u = 4 x$ $u=4x$ e il derivato sarà $4$ $4$ :
$\frac{1}{4} \int cos (u) d x = \frac{1}{4} sin (u) = \frac{1}{4} sin (4 x)$ $1/4int cos(u) dx=1/4sin(u)=1/4sin(4x)$

Completamento dell'integrale originale
Ora che conosciamo Integral 1 e Integral 2, possiamo ricollegarli alla nostra espressione originale per ottenere la risposta finale:
$\frac{1}{4} (x - sin (2 x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{4} sin (4 x))) + C =$ $1/4(x-sin(2x)+1/2(x+1/4sin(4x)))+C=$

$= \frac{1}{4} (x - sin (2 x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} sin (4 x)) + C =$ $=1/4(x-sin(2x)+1/2x+1/8sin(4x))+C=$

$= \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} sin (2 x) + \frac{1}{8} x + \frac{1}{32} sin (4 x) + C =$ $=1/4x-1/4sin(2x)+1/8x+1/32sin(4x)+C=$

$= \frac{3}{8} x - \frac{1}{4} sin (2 x) + \frac{1}{32} sin (4 x) + C$ $=3/8x-1/4sin(2x)+1/32sin(4x)+C$

Qual è l'integrale di int sin ^ 4 (x) dx ∫sin4(x)dxint sin ^ 4 (x) dx ?

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Qual è l'integrale di $\int {sin}^{4} (x) d x$ $int sin ^ 4 (x) dx$ ?