Qual è l'integrale di #int [(xe ^ (2x)) / (2x + 1) ^ 2] dx #?

Un altro metodo:

#I=int(xe^(2x))/(2x+1)^2dx#

Possiamo provarci integrazione per parti con i #u=e^(2x)# e #dv=x/(2x+1)^2dx#.

Si noti che #v=intx/(2x+1)^2dx#. lasciando #t=2x+1#, questo implica che #x=1/2(t-1)# e che #dt=2dx=>dx=1/2dt#, Così #v=int(1/2(t-1))/t^2 1/2dt=1/4int(1/t-1/t^2)dt=1/4lnabst+1/(4t)...#

Così, #du=2e^(2x)dx#.

Quindi:

#I=1/4e^(2x)(lnabs(2x+1)+1/(2x+1))-int2e^(2x)1/4(lnabs(2x+1)+1/(2x+1))dx#

#I=e^(2x)/4lnabs(2x+1)+e^(2x)/(4(2x+1))-1/2inte^(2x)lnabs(2x+1)dx-1/2inte^(2x)/(2x+1)dx#

Provando IBP sul secondo integrale, facciamo:

#u=-1/2e^(2x)=>du=-e^(2x)dx#
#dv=dx/(2x+1)=>v=1/2lnabs(2x+1)#

Così:

#I=e^(2x)/4lnabs(2x+1)+e^(2x)/(4(2x+1))-1/2inte^(2x)lnabs(2x+1)dx-e^(2x)/4lnabs(2x+1)+1/2inte^(2x)lnabs(2x+1)dx#

#I=e^(2x)/(4(2x+1))+C#