Qualcuno può darmi l'idea di Integral = indefinito?

Integrale definito vs indefinito

Un integrale definito include una specifica dell'insieme di valori su cui deve essere calcolato l'integrale. Di conseguenza, ha un valore definito, ad esempio l'area sotto una curva in un dato intervallo.

Al contrario, un integrale indefinito non specifica l'insieme di valori su cui calcolare l'integrale. In sostanza identifica l'aspetto della funzione antiderivativa, inclusa una costante di integrazione da determinare. Per esempio:

#int x^2 dx = 1/3 x^3 + C#

Integrali non elementari di funzioni elementari

A differenza dei derivati, l'integrale di una funzione elementare non è necessariamente elementare. Il termine "funzione elementare" indica le funzioni costruite usando operazioni aritmetiche di base, #n#radici, trigonometriche, iperboliche, esponenziali e logaritmiche.

Ci sono alcune funzioni non elementari molto utili che si possono esprimere come integrali di funzioni elementari. Ad esempio, la funzione Gamma:

#Gamma(x) = int_0^oo t^(x-1) e^(-t) dt#

La funzione Gamma estende la definizione di fattoriale a valori diversi dagli interi non negativi.

Valore principale di Pali e Cauchy

Se una funzione ha una singolarità come un polo semplice, allora il suo integrale definito in un intervallo compreso quel polo non viene definito automaticamente. Una soluzione alternativa per tali casi è fornita dal valore principale di Cauchy.

Per esempio:

#int_(-1)^1 dt/t = lim_(epsilon -> 0+) (int_(-1)^-epsilon dt/t + int_epsilon^1 dt/t) = 0#

Insiemi non misurabili

Se l'insieme su cui si sta tentando di integrare non è misurabile, di solito l'integrale non è definito. Un'eccezione sarebbe se il valore della funzione su quell'insieme fosse zero.

Per "costruire" un insieme non misurabile, in genere si usa l'assioma di scelta.

Ad esempio, è possibile definire una relazione di equivalenza su #RR# di:

#a ~ b <=> (a-b) " is rational"#

Questa partizione di relazione di equivalenza #RR# in un'infinità infinita di insiemi numerabili.

Utilizzare l'assioma scelto per scegliere esattamente un elemento di ciascuna classe di equivalenza per creare un sottoinsieme #S sub RR#.

Per qualsiasi numero razionale #x#, possiamo definire #S_x# consistere degli elementi di #S# compensato da #x#. Quindi i set #S_x : x in QQ# formare una partizione di #RR# in un infinito numerabile di sottoinsiemi.

Possiamo definire una funzione non integrabile tramite:

#f(t) = { (1 " if " t in S_x " where " x = p/q " in lowest terms and " q " is even"), (0 " otherwise") :}#

Questa funzione non è integrabile in nessun intervallo.