Quante linee tangenti alla curva $y = \frac{x}{x + 1}$ $y = x / (x + 1)$ passano attraverso il punto (1,2)?

Ci sono 2 linee tangenti che attraversano il punto $(1, 2)$ $(1,2)$ .

$y = \frac{1}{{(- 1 + \sqrt{3})}^{2}} (x - 1) + 2$ $y = 1/(-1+sqrt3)^2(x-1)+2$

$y = \frac{1}{{(- 1 - \sqrt{3})}^{2}} (x - 1) + 2$ $y = 1/(-1-sqrt3)^2(x-1)+2$

Dato: $y = \frac{x}{x + 1}$ $y = x/(x+1)$

La forma punto-pendenza dell'equazione di una linea ci dice che la forma delle linee tangenti deve essere:

$y = m (x - 1) + 2 [1]$ $y = m(x-1)+2" [1]"$

Affinché le linee siano tangenti alla curva, dobbiamo sostituire la prima derivata della curva $m$ $m$ :

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d (x)}{d x} (x + 1) - x \frac{d (x + 1)}{d x}}{{(x + 1)}^{2}}$ $dy/dx = ((d(x))/dx(x+1)-x(d(x+1))/dx)/(x+1)^2$

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$ $dy/dx = (x+1-x)/(x+1)^2$

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ $dy/dx = 1/(x+1)^2$

$m = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} [2]$ $m = 1/(x+1)^2" [2]"$

Sostituisci l'equazione [2] nell'equazione [1]:

$y = \frac{x - 1}{{(x + 1)}^{2}} + 2 [1.1]$ $y = (x-1)/(x+1)^2+2" [1.1]"$

Poiché la linea deve toccare la curva, possiamo sostituirla $y = \frac{x}{x + 1}$ $y = x/(x+1)$ :

$\frac{x}{x + 1} = \frac{x - 1}{{(x + 1)}^{2}} + 2$ $x/(x+1) = (x-1)/(x+1)^2+2$

Risolvi per x:

$x (x + 1) = (x - 1) + 2 {(x + 1)}^{2}$ $x(x+1) = (x-1)+2(x+1)^2$

$x^{2} + x = x - 1 + 2 x^{2} + 4 x + 2$ $x^2+x = x -1 +2x^2+4x+2$

$x^{2} + 4 x + 1$ $x^2+4x+1$

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 (1) (1)}}{2 (1)}$ $x = (-4+-sqrt(4^2-4(1)(1)))/(2(1))$

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$ $x = -2+-sqrt(3)$

$x = - 2 + \sqrt{3}$ $x = -2+sqrt(3)$ e $x = - 2 - \sqrt{3}$ $x = -2-sqrt(3)$

Ci sono 2 linee tangenti.

$y = \frac{1}{{(- 1 + \sqrt{3})}^{2}} (x - 1) + 2$ $y = 1/(-1+sqrt3)^2(x-1)+2$

$y = \frac{1}{{(- 1 - \sqrt{3})}^{2}} (x - 1) + 2$ $y = 1/(-1-sqrt3)^2(x-1)+2$

Quante linee tangenti alla curva y = x / (x + 1) y=xx+1y = x / (x + 1) passano attraverso il punto (1,2)?