Quante linee tangenti alla curva #y = x / (x + 1) # passano attraverso il punto (1,2)?

Dato: #y = x/(x+1)#

La forma punto-pendenza dell'equazione di una linea ci dice che la forma delle linee tangenti deve essere:

#y = m(x-1)+2" [1]"#

Affinché le linee siano tangenti alla curva, dobbiamo sostituire la prima derivata della curva #m#:

#dy/dx = ((d(x))/dx(x+1)-x(d(x+1))/dx)/(x+1)^2#

#dy/dx = (x+1-x)/(x+1)^2#

#dy/dx = 1/(x+1)^2#

#m = 1/(x+1)^2" [2]"#

Sostituisci l'equazione [2] nell'equazione [1]:

#y = (x-1)/(x+1)^2+2" [1.1]"#

Poiché la linea deve toccare la curva, possiamo sostituirla #y = x/(x+1)#:

#x/(x+1) = (x-1)/(x+1)^2+2#

Risolvi per x:

#x(x+1) = (x-1)+2(x+1)^2#

#x^2+x = x -1 +2x^2+4x+2#

#x^2+4x+1#

#x = (-4+-sqrt(4^2-4(1)(1)))/(2(1))#

#x = -2+-sqrt(3)#

#x = -2+sqrt(3)# e #x = -2-sqrt(3)#

Ci sono 2 linee tangenti.

#y = 1/(-1+sqrt3)^2(x-1)+2#

e

#y = 1/(-1-sqrt3)^2(x-1)+2#