Secondo la terza legge di Keplero (p2 = a3), in che modo la massa di un pianeta influenza la sua orbita attorno al Sole?

Le leggi di Keplero affermano che l'orbita di un pianeta è un'ellisse, che si estende su una superficie uguale per unità di tempo. La terza legge #p^2=a^3# collega il periodo alla distanza dell'asse semi maggiore. In effetti la terza legge, come affermato, funziona solo se il periodo è in anni e l'asse semi-maggiore è in Unità astronomiche (AU). Queste leggi si applicano a tutti i pianeti indipendentemente dalla massa.

Per capire perché questo è il caso, dobbiamo usare le leggi di Newton. La forza che un sole esercita su un pianeta è #F=(GMm)/a^2#, dove G è la costante gravitazionale, M è la massa del sole, m è la massa del pianeta e a è la distanza tra il sole e il pianeta.

C'è una seconda equazione #F=maω^2# che descrive la velocità angolare & omega; un pianeta avrà come risultato della forza. Dare le equazioni dà #(GMm)/a^2=maω^2#. Vedi che la massa del pianeta si annulla per dare #(GM)/a^2=aω^2#.

Questo spiega perché la massa del pianeta non influisce sull'orbita.

Adesso il periodo #p=(2π)/ω# or #ω=(2π)/p#. Sostituendo questo nell'equazione precedente si ottiene #(GM)/a^2=(4aπ^2)/p^2#. Moltiplica entrambi i lati per #p^2a^2# dà #GMp^3=4π^2a^3#.

Utilizzando il Sole e la Terra come base e selezionando l'unità di distanza da 1 UA e l'unità di tempo da 1 anno, il termine costante #(GM)/(4π^2)=1#. Questo dà la terza legge di Keplero #p^2=a^3#.