Trova il punto sulla parabola y = x² più vicino al punto (-3,0)?
Risposta:
#(x,y) = (-1,1)# è il punto più vicino #y=x^2# a #(-3,0)#
Spiegazione:
La distanza da qualsiasi punto #(x,y)# fino a un certo punto #(hatx,haty)# is
#color(white)("XXX")##sqrt((x-hatx)^2+(y-haty)^2)#
Per punti #y=x^2# questo diventa
#color(white)("XXX")d(x)=sqrt((x-hatx)^2+(x^2-haty)^2)#
e
più specificamente per il punto #(hatx,haty)=(-3,0)# questo diventa
#color(white)("XXX")sqrt((x+3)^2+(x^2-0)^2)#
#color(white)("XX") = sqrt(x^4+x^2+6x+9)#
Il problema è minimizzare #d(x)#
o equivalentemente (ma leggermente più semplice) per minimizzare
#color(white)("XXX")f(x)=x^4+x^2+6x+9#
Il minimo si verifica quando #f'(x)= 0#
Questo è quando
#color(white)("XXX")4x^3+2x+6=0#
Una radice ovvia (per ispezione) è #x=-1#
(e in effetti non ci sono altre radici reali)
If #x=-1#
poi #y=x^2 = (-1)^2 =1#