Un bicchiere di carta conico è alto 10 cm con un raggio di 30 cm. La tazza viene riempita con acqua in modo che il livello dell'acqua aumenti a una velocità di 2 cm / sec. A quale velocità viene versata acqua nella tazza quando il livello dell'acqua è di 9 cm?

Impostiamo le seguenti variabili:

# {(R, "Radius of conical cup (cm)",=30 cm), (H, "Height of the conical cup (cm)",=10 cm), (t, "time", "(s)"), (h, "Height of water in cup at time t","(cm)"), (r, "Radius of water at time t","(cm)" ), (V, "Volume of water at time t", "(cm"^3")") :} #

Il nostro obiettivo è trovare #(dV)/dt# quando #h=9# e ci viene dato #(dh)/dt=2#

Con triangoli simili abbiamo

# r:h = R:H #

# :. r/h=30/10 => r = 3h #

Il volume di un cono è #1/3pir^2h#, Così:

# V = 1/3 pi r^2 h #
# = 1/3 pi (3h)^2 h #
# = 1/3 pi 9h^2 h #
# = 3pi h^3 #

Wrt differenziante #h# noi abbiamo:

# (dV)/(dh) = 9pih^2 #

E applicando il regola di derivazione si ha:

# (dV)/(dt) = (dV)/(dh) * (dh)/(dt) #
# = 9pih^2 * 2 #
# = 18pih^2 #

E così quando h = 9 abbiamo:

# [ (dV)/(dt) ]_(h=9) = 18pi(9^2) = 1458pi cm^3s^-1 #