Un cilindro destro è inscritto in una sfera di raggio r. Come si trova il volume più grande possibile di un tale cilindro?

Esistono diversi passaggi per questo problema di ottimizzazione.

1.) Trova l'equazione per il volume di un cilindro inscritto in una sfera.
2.) Trova la derivata dell'equazione del volume.
3.) Impostare la derivata uguale a zero e risolvere per identificare i punti critici.
4.) Collegare i punti critici all'equazione del volume per trovare il volume massimo.

Il posto migliore per iniziare è disegnare un diagramma. L'immagine seguente mostra il cilindro inscritto nella sfera. Data l'altezza, #h#, possiamo trovare il raggio del cilindro in termini di #r# usando il teorema di Pitagora.

Si noti che #h# si riferisce alla metà dell'altezza totale del cilindro. Ho scelto di usare #h# invece di #h/2# per semplificare le cose in seguito.

Per trovare il volume del nostro cilindro, dobbiamo moltiplicare l'area della parte superiore per l'altezza totale del cilindro. In altre parole;

#V= pi ("radius of cylinder")^2 ("height of cylinder")#

#V = pi (sqrt(r^2-h^2))^2(2h)#

#V = 2 pi h (r^2-h^2)#

Questa è la nostra funzione volume. Quindi prendiamo la derivata della funzione volume e la impostiamo uguale a zero. Se spostiamo il #h# all'interno della parentesi, abbiamo solo bisogno di usare il regola del potere per ottenere il derivato.

#V=2 pi (r^2h-h^3)#

#d/(dx) V(h) = 2 pi (r^2-3h^2) = 0#

The #2pi# si divide e ci rimane;

#r^2-3h^2 = 0#

Dopo qualche risistemazione;

#h^2 = r^2/3#

Prendi la radice quadrata di entrambi i lati.

#h = r/sqrt3#

Questa è la nostra altezza ottimizzata. Per trovare il volume ottimizzato, dobbiamo collegarlo alla funzione volume.

#V=2 pi h(r^2-h^2)=2 pi (r/sqrt3)(r^2-(r/sqrt3)^2)#

Semplificare.

#V=(2 pi r)/sqrt3(r^2-r^2/3)#

#V=(2 pi r)/sqrt3((3r^2-r^2)/3)#

#V=(2 pi r)/sqrt3((2r^2)/3)#

#V=(4 pi r^3)/(3sqrt3)#

#V=(4 sqrt3 pi r^3)/9#

Questo è il volume ottimizzato per il cilindro. È un buon controllo per notarlo #V# è in termini di #r^3# poiché il volume dovrebbe avere unità cubiche. In altre parole, se il nostro raggio fosse indicato in termini di metri, le nostre unità di volume lo sarebbero #"m"^3#