Un rettangolo è inscritto con la sua base sull'asse xe i suoi angoli superiori sulla parabola y = 12 - x ^ 2. Quali sono le dimensioni di un tale rettangolo con la massima area possibile?

Impostiamo le seguenti variabili:

# {(P(x,y), "coordinate of the right hand corner"), (A, "Area of Rectangle") :} #

#P# giace sulla parabola e #y=12-x^2#, Così #P=P(x,12-x^2)#

A causa della simmetria La larghezza del rettangolo è metà della distanza tra P e l'asse y, cioè

Width = #2x# and Height=#y#

Quindi l'area del rettangolo è:

# A = Wdith xx Height #
# :. A = 2xy #
# :. A = 2x(12-x^2) #
# :. A = 24x-2x^3) # ..... [1]

Ci viene chiesto di massimizzare l'area come #x# cambiamenti così speriamo che possiamo identificare un punto critico di #A# associato a un massimo, quindi dobbiamo trovare #(dA)/dx#

Differenziazione [1] wrt #x#
# :. (dA)/dx = 24-6x^2 # ..... [2]

In un punto critico, # (dA)/dx = 0 #

# :. 24-6x^2 = 0#
# :. 6x^2 = 24#
# :. x^2 = 4#
# :. x = +-2#

Ovviamente #x# deve essere positivo (altrimenti abbiamo un rettangolo immaginario con area negativa per una scatola che è crollata su se stessa)

# :. x = 2#

Dobbiamo verificare se si tratta di un massimo o un minimo, quindi differenziare [2] wrt #x# ottenere;

# :. (d^2A)/dx^2 = -12x #
# :. (d^2A)/dx^2 = -12x < 0 " when " x=2#, confirming a max

quando #x=2# si ha:

Width = #2*2 = 4#
Height = #12-4=8#
Area = #32#