Un serbatoio d'acqua ha la forma di un cono rovesciato con raggio di 2 me altezza 5 m. L'acqua sta uscendo dal serbatoio attraverso un piccolo foro sul fondo. Qual è il tasso di variazione del livello dell'acqua quando il deflusso legge 3 m ^ 3 / min in altezza, h = 4 m ?
Risposta:
il tasso di variazione è 6.2times 10^-3ms^-1=0.37m/ min
Spiegazione:
Ci viene dato il tasso di variazione del volume
(dV)/dt=3m^3/min=0.05m^3/s
e viene chiesto di trovare il tasso di variazione del livello dell'acqua, (dh)/dt.
In termini di equazione differenziale possiamo esprimere questo come
(dV)/dt=(dV)/(dh)*(dh)/dt=0.05 che chiameremo equation1
vogliamo trovare (dh)/dt quindi dovremo trovare (dV)/(dh).
Il volume di un cono è dato da
V=pir^2h/3
E in questo caso r/h=2/5 so r=2/5h
Sostituendo questo nell'equazione del volume si ottiene:
V=pir^2h/3=pi(2/5h)^2(h/3)=pi4/75h^3
Ora possiamo differenziare:
(dV)/(dh)=pi12/75h^2
Quando h = 4, quindi (dV)/(dh)=pi12/75h^2=2.56pi
Quindi, se lo sostituiamo all'equazione 1:
(2.56pi)*((dh)/dt)=0.05
(dh)/dt=0.05/(2.56pi)=6.2times 10^-3ms^-1=0.37m/ min