Un serbatoio d'acqua ha la forma di un cono rovesciato con raggio di 2 me altezza 5 m. L'acqua sta uscendo dal serbatoio attraverso un piccolo foro sul fondo. Qual è il tasso di variazione del livello dell'acqua quando il deflusso legge # 3 m ^ 3 / min # in altezza, # h = 4 m #?
Risposta:
il tasso di variazione è #6.2times 10^-3ms^-1=0.37m/ min#
Spiegazione:
Ci viene dato il tasso di variazione del volume
#(dV)/dt=3m^3/min=0.05m^3/s#
e viene chiesto di trovare il tasso di variazione del livello dell'acqua, #(dh)/dt#.
In termini di equazione differenziale possiamo esprimere questo come
#(dV)/dt=(dV)/(dh)*(dh)/dt=0.05# che chiameremo equation1
vogliamo trovare #(dh)/dt# quindi dovremo trovare #(dV)/(dh)#.
Il volume di un cono è dato da
#V=pir^2h/3#
E in questo caso #r/h=2/5# so #r=2/5h#
Sostituendo questo nell'equazione del volume si ottiene:
#V=pir^2h/3=pi(2/5h)^2(h/3)=pi4/75h^3#
Ora possiamo differenziare:
#(dV)/(dh)=pi12/75h^2#
Quando h = 4, quindi #(dV)/(dh)=pi12/75h^2=2.56pi#
Quindi, se lo sostituiamo all'equazione 1:
#(2.56pi)*((dh)/dt)=0.05#
#(dh)/dt=0.05/(2.56pi)=6.2times 10^-3ms^-1=0.37m/ min#