Una torta viene rimossa da un forno a 375 ° F e si raffredda a 215 ° F dopo 15 minuti in una stanza a 72 ° F. Quanto tempo (dal momento in cui viene rimosso dal forno) la torta si raffredda a 72 ° F?

La legge del raffreddamento di Newton afferma che la velocità di raffreddamento di un oggetto è inversamente proporzionale alla differenza di temperature tra l'oggetto e l'ambiente circostante #(dT)/(dt)=-kT#, Dove #t# è il tempo impiegato e #T# è la differenza delle temperature tra l'oggetto e l'ambiente circostante.

Questo ci dà #T# come una funzione di #t# ed è dato da #T(t)=ce^(-kt)#.

Con questo ci vorrà un tempo infinito perché l'oggetto si raffreddi a temperatura ambiente, quando #T(t)=0#. Supponiamo ancora che si raffreddi #72.5^oF# o meno, che è arrotondabile a #72^oF# e lavoro fuori.

Adesso come #T(0)=ce^(-kxx0)=c=375-72=303# e

#T(15)=303xxe^(-15k)=375^oF-215^oF=160^oF# or #e^(-15k)=160/303#

e #-15k=ln(160/303)=-0.638559# or #k=0.638559/15=0.0425706#

Se la torta si raffredda #72.5^oF# in #t# minuti, quindi

#303e^(-0.0425706xxt)=0.5# or #e^(-0.0425706xxt)=0.5/303=0.00165017#

or #-0.0425706t=ln0.00165017=-6.40688#

or #t=6.40688/0.0425706=150.5#

Quindi, ci vorrà in locazione #150.5# minuti per raffreddarsi per chiudere #72^oF#