4cosa.cos (60-a) .cos (60 + a) = cos3a?

Useremo

#rarr2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)#

#LHS=4cosxcos(60^@-x)cos(60^@+x)#

#=2cosx*[2cos(60^@+x)cos(60^@-x)]#

#=2cosx*[cos(60^@+x+60^@-x)+cos(60^@+x-60^@+x)]#

#=2cosx[cos120^@+cos2x]#

#=2cosx[cos2x-1/2]#

#=cancel(2)cosx[(2cos2x-1)/cancel(2)]#

#=2cos2x*cosx-cosx#

#=cos(2x+x)+cos(2x-x)-cosx#

#=cos3xcancel(+cosx)cancel(-cosx)=cos3x=RHS#