Come si integra #int sin (lnx) # mediante l'integrazione con il metodo delle parti?

lasciare #I = int sin(lnx) dx#

Dobbiamo decidere (indovinare) se usare #sin(lnx)#as #u# or #dv#. Si scopre che entrambi funzioneranno.

Metodo 1
lasciare #u = sin(lnx)# e #dv = dx#.

Poi #du = 1/x cos(lnx) dx# e #v = x#

#I = uv-intvdu#

# = xsin(lnx)-intcos(lnx) dx#

Ripeti con #u = cos(lnx)# e #dv = dx#,

so #du = -1/xsin(lnx)# e #v = x#.

#I = xsin(lnx)-[ xcos(lnx)- int -sin(lnx) dx ]#

so

#I = xsin(lnx)- xcos(lnx)- underbrace(int sin(lnx) dx)_I #

#2I = xsin(lnx)- xcos(lnx)#

#I = 1/2( xsin(lnx)- xcos(lnx) )#

Metodo 2

lasciare #I = int sin(lnx) dx#

Per poter utilizzare #sin(lnx) dx# in #dv#, dovremo essere in grado di integrarci #dv#.
Potremmo usare la sostituzione se avessimo il derivato di #lnx# come fattore, quindi lo introdurremo.

#I = int x sin(lnx) 1/x dx#

lasciare #u = x# e #dv = sin(lnx) 1/x dx#.

Poi #du =dx# e #v = -cos(lnx)#

#I = uv-intvdu#

# = -xcos(lnx)+int cos(lnx) dx#

Useremo di nuovo le parti. (E speriamo che funzioni. In caso contrario, proveremo qualcos'altro.)

# = -xcos(lnx)+int x cos(lnx) 1/x dx#

lasciare #u = x# e #dv = cos(lnx) 1/x dx#.

Poi #du =dx# e #v = sin(lnx)#

#I = -xcos(lnx)+[xsin(lnx)-underbrace(intsin(lnx) dx)_I]#

#2I = -xcos(lnx)+xsin(lnx)#

#I = 1/2( xsin(lnx)- xcos(lnx) )#