Come si integra #int lnx / x # mediante l'integrazione per metodo delle parti?
Risposta:
# int lnx /x dx = 1/2(lnx)^2 + c #
Spiegazione:
La formula per IBP è # int u (dv)/dx dx= uv- int v(du)/dx dx #
Speriamo di poter identificare una funzione che semplifica una volta differenziata e l'altra che semplifica una volta integrata (o almeno è più facile da integrare rispetto alla funzione originale).
quindi speriamo che sia ovvio che scegliamo:
#u=lnx# e #(du)/dx=1/x#
so #u=lnx=>(du)/dx=1/x#
e #(dv)/dx=1/x=>v=lnx#
# :. int lnx 1/x dx = lnxlnx-int lnx1/xdx + c_1#
# :. int lnx /x dx = (lnx)^2-int lnx/xdx + c_1#
# :. 2int lnx /x dx = (lnx)^2 + c_1#
# :. int lnx /x dx = 1/2(lnx)^2 + 1/2c_1#
# :. int lnx /x dx = 1/2(lnx)^2 + c #