Come si scrive l'equazione dell'iperbole data a Foci: (-6,0), (6,0) e vertici (-4,0), (4,0)?

La forma cartesiana standard per l'equazione di un'iperbole con un asse trasversale verticale è:

#(y - k)^2/a^2 - (x - h)^2/b^2 = 1" [1]"#

I suoi vertici si trovano nei punti, #(h, k - a), and (h, k + a)#.

I suoi fuochi si trovano nei punti, #(h, k - sqrt(a^2 + b^2)), and (h, k + sqrt(a^2 + b^2))#.

La forma cartesiana standard per l'equazione di un'iperbole con un asse trasversale orizzontale è:

#(x - h)^2/a^2 - (y - k)^2/b^2 = 1" [2]"#

I suoi vertici si trovano nei punti, #(h- a, k), and (h + a, k)#.

I suoi fuochi si trovano nei punti, #(h - sqrt(a^2 + b^2), k), and (h + sqrt(a^2 + b^2), k)#.

Dato:

foci: #(-6, 0), (6,0)#
vertici: #(-4, 0), (4,0)#

Si noti che sono le coordinate x dei vertici e dei fuochi che cambiano, mentre la coordinata y rimane fissa; questo corrisponde al tipo trasversale orizzontale, equazione [2]. Ecco come si sa quale equazione usare. Se fossero le coordinate y che stavano cambiando e le coordinate x fossero fisse, sarebbe l'equazione [1].

Possiamo usare #(-4, 0), (4,0)# e #(h- a, k), (h + a, k)# per scrivere le seguenti equazioni:

#k = 0" [3]"#
#h - a = -4" [4]"#
#h + a = 4" [5]"#

Per trovare il valore di h, aggiungi l'equazione [4] all'equazione [5]:

#h - a + h + a = -4 + 4#
#2h = 0#
#h = 0#

Per trovare il valore di a, sottrarre l'equazione [4] dall'equazione [5]:

#-h + a + h + a = 4 + 4#
#2a = 8#
#a = 4#

Utilizzando, h = 0, a = 4 e il punto #(6,0)#, possiamo scrivere l'equazione:

#6 = 0 + sqrt(4^2 + b^2)#

e poi risolvi per b:

#36 = 16 + b^2#
#b^2 = 20#
#b = sqrt(20)#
#b = 2sqrt(5)#

Sostituisci i valori per h, k, a e b nell'equazione [2]:

#(x - 0)^2/4^2 - (y - 0)^2/(2sqrt(5))^2 = 1" [6]"#

L'equazione [6] è l'equazione desiderata.