Domanda #96821

Efficienza di imballaggio riguarda tutto lo spazio occupato dagli atomi presenti in a cellula unitaria.

Per calcolare l'efficienza dell'imballaggio, devi sostanzialmente conoscere tre cose

• how many atoms you get per unit cell
• the volume of a single atom
• the total volume of the unit cell

L'efficienza dell'imballaggio sarà pari a

#color(blue)(|bar(ul(color(white)(a/a)"pack. eff." = "volume occupied by atoms"/"total volume of the unit cell"color(white)(a/a)|)))#

Quindi, inizia calcolando quanti atomi ottieni in a esagonale a pacco chiuso (HCP) cellula unitaria.

Una cella di unità HCP è a prisma esegonale che ha un totale di #17# punti reticolari

• three lattice points in the center of the cell
• two lattice points in the centers of the bases
• twelve lattice points in the corners of the unit cell

Ora, guarda come sono imballati gli atomi nella cellula unitaria. Si noti che hai

• #1# atom for every lattice point located in the center of the unit cell
• #1/2# of an atom for every lattice point located in the center of the two bases
• #1/6"th"# of an atom for every lattice point located in the corners of the unit cell

Il numero totale di atomi che possono adattarsi in una cella di unità HCP sarà quindi

#3 xx "1 atom" + 2 xx 1/2color(white)(a)"atoms" + 12 xx 1/6color(white)(a)"atoms" = "6 atoms"#

A questo punto, sarebbe più facile lavorare con a cellula unitaria primitiva, che equivale a #1/3"rd"# di una cella unitaria.

Proiettare questa cellula primitiva qui ti porterà

Questa cella unitaria primitiva conterrà #2# atomi. Se prendi #a# per essere la lunghezza di questa cellula unitaria primitiva, puoi dire di avere

#a = 2r implies r = a/2" " " "color(orange)("(*)")#

Qui #r# rappresenta il raggio di un atomo.

Ora, per ottenere il volume di questa cella primitiva, devi usare a conosciuto relazione che esiste tra la lunghezza della cella e quella altezza, di solito indicato come #c#. Intendiamoci, lo farò non deriva questa relazione qui!

Più specificamente, è possibile utilizzare il fatto che

#color(purple)(|bar(ul(color(white)(a/a)color(black)(c = sqrt(8/3) * a = (2sqrt(6))/3 * a)color(white)(a/a)|)))#

Il volume di questa cellula unitaria primitiva sarà quindi uguale a area del rombo che costituisce la sua base e l'altezza della cellula. Adesso l'area di un rombo può essere espressa usando la lunghezza del suo lato e un angolo interno.

http://www.mathwords.com/a/area_rhombus.htm

#"area rhombus" = a^2 * sin(A)#

Nel tuo caso, puoi dirlo

#"area rhombus" = a^2 * sin(120^@) = sqrt(3)/2 * a^2#

NOTA A MARGINE Questo sarà ovviamente equivalente a

#"area rhombus" = a^2 * sin(60^@) = sqrt(3)/2 * a^2#

Il volume della cellula unitaria primitiva sarà quindi

#V_"primitive cell" = overbrace(sqrt(3)/color(red)(cancel(color(black)(2))) * a^2)^(color(green)("area of the rhombus")) xx overbrace((color(red)(cancel(color(black)(2)))sqrt(6))/3 * a)^(color(blue)("height of the cell"))#

#V_"primitive cell" = (sqrt(3) * sqrt(6))/3 * a^3 = sqrt(2) * a^3#

Poiché una cellula primitiva è equivalente a #1/3"rd"# di una cella unitaria, si può dire che il volume totale della cella unitaria sarà

#V_"unit cell" = 3 xx sqrt(2) * a^3 = 3sqrt(2) * a^3#

Il volume di un singolo atomo è dato da

#color(purple)(|bar(ul(color(white)(a/a)color(black)(V_"atom" = 4/3 * pi * r^3)color(white)(a/a)|)))#

Usa l'equazione #color(orange)("(*)")# scrivere

#V_"atom" = 4/3 * pi * (a/2)^3#

#V_"atom" = 4/3 * pi * a^3/8 = pi/6 * a^3#

Dal momento che sai che ottieni #6# atomi in una cella unitaria, puoi dire che il volume totale occupato sarà ape uguale a

#V_"occupied" = color(red)(cancel(color(black)(6))) xx pi/color(red)(cancel(color(black)(6))) * a^3 = pi * a^3#

Ciò significa che l'efficienza dell'imballaggio sarà

#"pack. eff" = V_"occupied"/V_"unit cell"#

#"pack. eff" = (pi * color(red)(cancel(color(black)(a^3))))/(3sqrt(2) * color(red)(cancel(color(black)(a^3)))) = color(green)(|bar(ul(color(white)(a/a)0.7405color(white)(a/a)|)))#

Vedrai anche questo espresso come percentuale di efficienza di imballaggio

#"% pack. eff" = color(green)(|bar(ul(color(white)(a/a)74.05%color(white)(a/a)|)))#