Come si trova l'area della regione delimitata dalla curva polare $r = 2 - sin (θ)$ $r = 2-sin (theta)$ ?

La curva polare $r = 2 - sin θ$ $r=2-sin theta$ , $0 \leq θ < 2 π$ $0 le theta < 2pi$ Somiglia a questo.

inserisci qui la fonte dell'immagine

possiamo trovare la zona $A$ $A$ della regione chiusa può essere trovato da

$A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 - sin θ} r d r d θ = \frac{9 π}{2}$ $A=int_0^{2pi}int_0^{2-sin theta}r dr d theta={9pi}/2$

Valutiamo il doppio integrale sopra.

$A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 - sin θ} r d r d θ$ $A=int_0^{2pi}int_0^{2-sin theta}r dr d theta$

$= \int_{0}^{2 π} {[\frac{r^{2}}{2}]}_{0}^{2 - sin θ} d θ$ $=int_0^{2pi}[r^2/2]_0^{2-sin theta} d theta$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {(2 - sin θ)}^{2} d θ$ $=1/2int_0^{2pi}(2-sin theta)^2 d theta$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (4 - 4 sin θ + {sin}^{2} θ) d θ$ $=1/2int_0^{2pi}(4-4sin theta+ sin^2 theta) d theta$

by ${sin}^{2} θ = \frac{1}{2} (1 - cos 2 θ)$ $sin^2 theta=1/2(1-cos 2theta)$ ,

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (\frac{9}{2} - 4 sin θ - \frac{1}{2} cos 2 θ) d θ$ $=1/2int_0^{2pi}(9/2-4sin theta-1/2cos2theta)d theta$

$= \frac{1}{2} {[\frac{9}{2} θ + 4 cos θ - \frac{1}{4} sin 2 θ]}_{0}^{2 π}$ $=1/2[9/2theta+4cos theta-1/4sin2theta]_0^{2pi}$

$= \frac{1}{2} [9 π + 4 - 0 - (0 + 4 - 0)] = \frac{9 π}{2}$ $=1/2[9pi+4-0-(0+4-0)]={9pi}/2$

Come si trova l'area della regione delimitata dalla curva polare r = 2-sin (theta) r=2−sin(θ) r = 2-sin (theta) ?