Qual è la differenza tra una sequenza e una serie?

Una sequenza è un elenco di valori considerati come singoli termini.

Una serie è come una sequenza, ma invece che i termini siano separati siamo interessati alla loro somma.

Quindi una sequenza di esempio potrebbe essere:

#1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32,...#

con le serie corrispondenti:

#1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...#

#color(white)()#
Nota

Più in generale e formalmente, potremmo dire che una sequenza è una mappatura da un set di indici #I# in un insieme di valori #A#, Dove #I# è in genere l'insieme di numeri interi positivi #NN_1# o un sottoinsieme finito di tutti i numeri interi positivi fino a un determinato valore.

Quindi una sequenza finita di #4# i numeri potrebbero essere descritti come una mappatura da #{1, 2, 3, 4}# a #RR# dove:

#1 rarr 1#

#2 rarr 1/2#

#3 rarr 1/4#

#4 rarr 1/8#

Lo descriveremmo più brevemente come la sequenza finita:

#1, 1/2, 1/4, 1/8#

o dire:

#a_1 = 1#, #a_2 = 1/2#, #a_3 = 1/4#, #a_4 = 1/8#.

Una sequenza infinita è (normalmente) una mappatura da #NN_1# a un set #A#, che può essere definito da una regola. Per esempio:

#a_n = 2^(1-n)#

descrive una mappatura da #NN_1 -> RR# che rappresenta la sequenza:

#1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32,...#

#color(white)()#
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Perché entrare in tutto questo formalismo?

Per prima cosa ci consente di generalizzare oltre le sequenze numerabili al fine di dimostrare i risultati su insiemi infiniti più grandi.

Per un esempio davvero spaventoso, vedi https://socratic.org/s/aBqGmvDC