Come si semplifica # sqrt65 #?

Se un radicando (la parte sotto il segno della radice) di una radice quadrata ha un fattore quadrato, allora può essere semplificato:

#sqrt(a^2b) = abs(a) sqrt(b)#

o se lo sai #a >= 0#, più semplicemente:

#sqrt(a^2b) = a sqrt(b)#

Per esempio, #sqrt(24) = sqrt(2^2*6) = 2sqrt(6)#

Nel nostro esempio, troviamo #65 = 5 * 13# non ha fattori quadrati, quindi non può essere semplificato in questo modo.

Se ti piace, puoi riesprimerlo:

#sqrt(65) = sqrt(5)sqrt(13)#

ma ciò non è (per quanto ne so) considerato "più semplice".

#color(white)()#
Si noti che #sqrt(65)# è un numero irrazionale. Cioè, non può essere espresso come una frazione #p/q# per numeri interi #p# e #q#. Di conseguenza, la sua espansione decimale non termina o si ripresenta.

#color(white)()#
premio

#65 = 64 + 1 = 8^2 + 1#

è nella forma #n^2 + 1# con i #n = 8#.

Di conseguenza, la radice quadrata può essere espressa come molto semplice frazione continua ...

#sqrt(65) = [8;bar(16)] = 8+1/(16+1/(16+1/(16+1/(16+...))))#

Puoi usarlo per darti del bene approssimazioni for #sqrt(65)#, troncando la frazione continua dopo alcuni termini.

Per esempio,

#[8; 16] = 8+1/16 = 129/16 = 8.0625#

#[8; 16, 16] = 8+1/(16+1/16) = 8+16/257 = 2072/257 ~~ 8.0622568#

In realtà #sqrt(65)# è più vicino a #8.06225774829854965236#