Qual è la derivata di # x ^ (lnx) #?
Risposta:
Il derivato di #x^(lnx)# is #[(2*y*(lnx)*(x^(lnx)))/x] #
Spiegazione:
lasciare #y =x^(lnx)#
Non ci sono regole che possiamo applicare per differenziare facilmente questa equazione, quindi dobbiamo solo incasinarla fino a quando non troviamo una risposta.
Se prendiamo il registro naturale di entrambi i lati, stiamo cambiando l'equazione. Possiamo farlo fintanto che prendiamo in considerazione che questa sarà un'equazione completamente nuova:
#lny=ln(x^(lnx))#
#lny=(lnx)(lnx)#
Differenzia entrambe le parti:
#((dy)/(dx))*(1/y)=(lnx)(1/x)+(1/x)(lnx)#
#((dy)/(dx))=(2*y*lnx)/x#
Bene, ora abbiamo finito di fare confusione con quell'equazione. Torniamo al problema originale:
#y =x^(lnx)#
Possiamo riscriverlo come #y=e^[ln(x^(lnx))]# perché e alla potenza di un registro naturale di un certo numero è lo stesso numero.
#y=e^[ln(x^(lnx))]#
Ora, differenziamo questo usando la regola esponente:
#(dy)/(dx) = d/dx[ln(x^(lnx))] * [e^[ln(x^(lnx))]]#
Convenientemente, abbiamo già trovato il primo termine sopra, quindi possiamo semplificarlo facilmente.
#(dy)/(dx) = [(2*y*lnx)/x] * [x^(lnx)]#
#(dy)/(dx)=(2*y*(lnx)*(x^(lnx)))/x#