Come si trova una rappresentazione della serie di potenze per # (arctan (x)) / (x) # e qual è il raggio di convergenza?
Risposta:
Integrare le serie di potenze del derivato di #arctan(x)# quindi dividere per #x#.
Spiegazione:
Conosciamo la rappresentazione delle serie di potenze di #1/(1-x) = sum_nx^n AAx# così #absx < 1#. Così #1/(1+x^2) = (arctan(x))' = sum_n (-1)^nx^(2n)#.
Quindi la serie di potenze di #arctan(x)# is #intsum_n (-1)^nx^(2n)dx = sum_n int(-1)^nx^(2n)dx = sum_n((-1)^n)/(2n+1)x^(2n+1)#.
Lo dividi per #x#, scopri che la serie di potenze di #arctan(x)/x# is #sum_n((-1)^n)/(2n+1)x^(2n)#. Diciamo #u_n = ((-1)^n)/(2n+1)x^(2n)#
Al fine di trovare il raggio di convergenza di questa serie di potenze, valutiamo #lim_(n -> +oo)abs((u_(n+1))/u_n#.
#(u_(n+1))/u_n = (-1)^(n+1)*x^(2n+2)/(2n+3)(2n+1)/((-1)^nx^(2n)) = -(2n+1)/(2n+3)x^2#.
#lim_(n -> +oo)abs((u_(n+1))/u_n) = abs(x^2)#. Quindi, se vogliamo che le serie di potenza convergano, abbiamo bisogno #abs(x^2) = absx^2 < 1#, quindi le serie convergeranno se #absx <1#, il che non sorprende poiché è il raggio di convergenza della rappresentazione della serie di potenze di #arctan(x)#.