Come si trova una rappresentazione della serie di potenze per #ln (1-x) # e qual è il raggio di convergenza?

Letting #f(x)=ln(1-x)#, potresti usare la formula #f(0)+f'(0)x+(f''(0))/(2!)x^2+(f'''(0))/(3!)x^3+cdots# per ottenere la risposta sopra.

Tuttavia, è più interessante (divertente?) Utilizzare la serie geometrica #1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+cdots# e integrarlo termine per termine, utilizzando il fatto che #ln(1-x)=-int 1/(1-x) dx#, con #C=0# da #ln(1-0)=ln(1)=0#.

In questo modo si ottiene:

#ln(1-x)=-int (1+x+x^2+x^3+x^4+cdots) dx#

#=C-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-cdots#

#=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-cdots#

Dal #1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+cdots# for #|x|<1#, ciò implica che il raggio di convergenza è 1.

Tuttavia, succede una cosa interessante #x=-1# per la serie #-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-cdots#. Finisce per eguagliare #1-1/2+1/3-1/4+cdots#, che è la cosiddetta Alternonic Harmonic Series, che converge (sebbene non "assolutamente"). Inoltre, capita anche di eguagliare #ln(1-(-1))=ln(2)#.

Quindi, anche se il raggio di convergenza è #1#, la serie per #ln(1-x)# converge ed è uguale #ln(1-x)# nell'intervallo semiaperto / semichiuso #[-1,1)# (non converge a #x=1# poiché è l'opposto della serie Harmonic).