Dato un triangolo isoscele ad angolo retto con il lato # s # e una costruzione del rettangolo inscritto MNOP tale che PO // MN. Calcola il perimetro e l'area del rettangolo MNOP in termini di # s #?

In primo luogo, troveremo #MP#.

Perché #MNOP# è un rettangolo, lo sappiamo #bar(MP)# è parallelo a #bar(ON)#e quindi a #bar(BC)#. Questo implica che #angleAMP = angleABC# e #angleAPM = angle ACB#, che significa #triangleAMP# è simile #triangleABC#, e così anche gli isosceli.

As #AM = MB# e #AM+MB = s#, lo sappiamo #s = 2AM#, o #AM = s/2#. Perché #triangleAMP# è isoscele, anche questo ci dà #AP = s/2#. Usando il teorema di Pitagora, Poi abbiamo #MP^2 = AM^2 + AP^2 = 2(s/2)^2 = s^2/2#, e così #MP = s/sqrt(2)#.

Successivamente, troveremo #MN#.

Perché #MNOP# è un rettangolo, lo sappiamo #angleMNO=90^@#. Quindi, come #angleBNM# è il suo complimento, abbiamo anche #angleBNM = 90^@#.

Come sono gli angoli non retti di un triangolo rettangolo isoscele #45^@#, sappiamo #angleABC = 45^@#, sottintendendo #angleMBN = 45^@#. così #triangleBNM# è anche un triangolo rettangolo isoscele, e così #BN = NM#.

Applicando di nuovo il teorema di Pitagora, abbiamo #BM^2 = BN^2 + MN^2 = 2MN^2#. Ma come #BM = s/2#, possiamo sostituirlo e risolverlo #MN# per ottenere #MN = s/(2sqrt(2))#

Ora che abbiamo le lunghezze laterali del rettangolo, possiamo facilmente trovare il suo perimetro #p# e area #A#.

#p = 2(s/sqrt(2)) + 2(s/(2sqrt(2))) = (2s)/sqrt(2)+s/sqrt(2) = 3/sqrt(2)s#

#A = (s/sqrt(2))(s/(2sqrt(2))) = s^2/4#