Come risolvi # cos (theta) - sin (theta) = 1 #?
Ogni volta #cos(theta) = 1#,
otteniamo #sin(theta) = +-sqrt(1-cos^2theta) = 0#
e #cos(theta)-sin(theta) = 1 - 0 = 1#.
#cos(theta) = 1# for #theta = 2npi# per tutti #n in ZZ#.
Ogni volta #sin(theta) = -1#,
otteniamo #cos(theta) = +-sqrt(1-sin^2theta) = 0#
e #cos(theta)-sin(theta) = 0 - (-1) = 1#.
#sin(theta) = -1# for #theta = -pi/2+2npi# per tutti #n in ZZ#.
Mettendo insieme due casi, abbiamo soluzioni quando:
#theta = 2npi# per tutti #n in ZZ#
e quando
#theta = -pi/2 + 2npi# per tutti #n in ZZ#
Per assicurarsi che queste siano le uniche soluzioni:
Iniziare con #cos(theta)-sin(theta)=1#, prima aggiungi #sin(theta)# su entrambi i lati:
#cos(theta)=sin(theta)+1#
Quindi quadrare entrambi i lati:
#cos^2(theta)=sin^2(theta)+2sin(theta)+1#
Quindi utilizzare #cos^2(theta)=1-sin^2(theta)# ottenere:
#1-sin^2(theta)=sin^2(theta)+2sin(theta)+1#
aggiungere #sin^2(theta)-1# da entrambe le parti per ottenere:
#0=2sin^2(theta)+2sin(theta)=2sin(theta)(sin(theta)+1)#
Quindi neanche #sin(theta) = 0# or #sin(theta) = -1#
Abbiamo già tenuto conto #sin(theta) = -1# nelle nostre soluzioni.
Che dire #sin(theta) = 0#?
Se è così, allora
#cos^2(theta) = 1 - sin^2(theta) = 1 - 0 = 1#
So #cos(theta) = +-sqrt(1) = +-1#
Solo il caso #cos(theta) = 1# soddisfa #cos(theta)-sin(theta) = 1# e abbiamo già tenuto conto anche di quel caso.
Quindi abbiamo trovato tutte le soluzioni.