Come si trova il volume della regione delimitato da grafici di #y = x ^ 2 # e #y = sqrt x # sull'asse x?
Risposta:
#color(blue)(pi/3 "cubic units.")#
Spiegazione:
Dal grafico possiamo vedere che il volume che cerchiamo è tra le due funzioni. Per trovare questo, dobbiamo trovare il volume di rivoluzione di #f(x)=sqrt(x)# e sottrarre il volume di rivoluzione di #f(x)=x^2#. Questo è mostrato come area ombreggiata.
Per prima cosa dobbiamo trovare i limiti superiore e inferiore. Sappiamo che il limite inferiore è #0# da #f(x)=sqrt(x)# è indefinito per #x<0#. Il limite superiore è dove le funzioni si intersecano:
#:.#
#x^2=sqrt(x)#
#x^2/x^(1/2)=1#
#x^(3/2)=1#
La quadratura:
#x^3=1#
#x=root(3)(1)=1#
Volume di #bb(f(x)=sqrt(x))#:
#pi int_(0)^(1)(x^(1/2))=pi[2/3x^(3/2)]_(0)^(1)#
#=pi{[2/3x^(3/2)]^(1)-[2/3x^(3/2)]_(0)}#
Inserimento dei limiti superiore e inferiore:
#=pi{[2/3(1)^(3/2)]^(1)-[2/3(0)^(3/2)]_(0)}=(2pi)/3# unità cubiche
Volume di #bb(f(x)=x^2)#
#pi int_(0)^(1)(x^2)=pi[1/3x^3]_(0)^(1)#
#=pi{[[1/3x^3]^(1)-[1/3x^3]_(0)}#
Inserimento dei limiti superiore e inferiore:
#=pi{[[1/3(1)^3]^(1)-[1/3(0)^3]_(0)}=pi/3# unità cubiche.
Il volume richiesto è:
#(2pi)/3-pi/3=##color(blue)(pi/3 "cubic units.")#
Volume di rivoluzione:
