Come trovo il limite di # (xy) / sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) #?

Suppongo che il limite sia:

#lim_((x,y)rarr(0,0))(xy)/sqrt(x^2+y^2)#.

La risposta è: #0#.

Questo limite è nella forma di indecisione: #0/0#.

I limiti di una funzione di più di una variabile sono davvero diversi da quelli di una variabile. La variabile #x# può "andare" al limite (es #a#) "solo" in due direzioni (#a^+,a^-#). In più di una variabile le direzioni sono infinite! Quindi, se vogliamo dimostrare che un limite non esiste, è semplicemente perché possiamo scegliere due direzioni diverse che portano a valori diversi.

Il modo per dimostrare e calcolare un limite solo uno il limite è fare un calcolo per ogni direzione.
Sembra non essere così facile ...

ma

se cambiamo il sistema di coordinate da cartesiano a polare, avremo due nuove variabili #rho,theta# e #theta# ci darà tutti le indicazioni in un colpo solo!

Se il limite dipenderà - esclusivamente. da #rho# il limite esiste!

Ora facciamo l'esercizio.

Lo ricordo:

#x=rhocostheta#
#y=rhosintheta#

e se

#(x,y)rarr(0,0)#

di

#rhorarr0#.

Così:

#lim_(rhorarr0)(rhocosthetarhosintheta)/sqrt(rho^2cos^2theta+rho^2sin^2theta)=#

#lim_(rhorarr0)(rho^2costhetasintheta)/sqrt(rho^2(cos^2theta+sin^2theta))=#

#lim_(rhorarr0)(rho^2costhetasintheta)/(rhosqrt((cos^2theta+sin^2theta)))=#

#lim_(rhorarr0)(rho^2costhetasintheta)/rho=#

#lim_(rhorarr0)rhocosthetasintheta=0#

e, è facile dire, questo limite non dipende da #theta#!