Calcolo

Come si trova la lunghezza della curva per # y = ln (1-x²) # per (0, 1/2)? La formula per la lunghezza dell'arco della curva #y# sull'intervallo #[a,b]# è dato da: #s=int_a^bsqrt(1+(dy/dx)^2)dx# Qui dove #y=ln(1-x^2)#, poi #dy/dx=(-2x)/(1-x^2)=(2x)/(x^2-1)#. Pertanto, la lunghezza dell'arco in questione è: #s=int_0^(1//2)sqrt(1+((2x)/(x^2-1))^2)dx# #s=int_0^(1//2)sqrt(((x^2-1)^2+(2x)^2)/(x^2-1)^2)dx# #s=int_0^(1//2)sqrt(x^4-2x^2+1+4x^2)/(x^2-1)dx# #s=int_0^(1//2)sqrt(x^4+2x^2+1)/(x^2-1)dx# Si noti che questo è determinante: #s=int_0^(1//2)sqrt((x^2+1)^2)/(x^2-1)dx# … Leggi tutto

Come si differenzia # (2x) / (x + 1) ^ 2 #? Risposta: #(f/g)’=(-color(red)(2)(x-1))/(x+1)^3# Spiegazione: The regola del quoziente ci dice che per una funzione sotto forma di #f/g, (f/g)’=(gf’-fg’)g^2# Qui, #g(x)=(x+1)^2# #g'(x)=d/dx(x^2+2x+1)=2x+2# #f(x)=2x# #f'(x)=2# Così, #(f/g)’=(2(x+1)^2-(2x+2)(2x))/(x+1)^4# Semplificare. #(f/g)’=(2(x^2+2x+color(red)(1))-(4x^2+4x))/(x+1)^4# #(f/g)’=(2x^2+4x+color(red)(2)-4x^2-4x)/(x+1)^4# #(f/g)’=color(red)((2-2x^2))/(x+1)^4# #(f/g)’=(-color(red)(2)(x^2-1))/(x+1)^4# #(f/g)’=(-color(red)(2)cancel((x+1))(x-1))/(x+1)^((cancel4)3)# #(f/g)’=(-color(red)(2)(x-1))/(x+1)^3#

Come trovi l'integrale di #abs (x) dx # sull'intervallo [-2, 1]? #int_(x=-2)^1 abs(x) dx# Il modo più semplice per farlo è pensare a come appare questa funzione: L'integrale è uguale all'area ombreggiata in blu che è la somma delle aree dei due triangoli #(2xx2)/2 + (1xx1)/2# #= 2 1/2#

Qual è la differenza tra una discontinuità rimovibile e non rimovibile? Risposta: Vedi la spiegazione di seguito. Spiegazione: Geometricamente, una discontinuità rimovibile è un buco nel grafico di #f#. Una discontinuità non rimovibile è qualsiasi altro tipo di discontinuità. (Salta spesso o discontinuità infinite.) Definizione If #f# ha una discontinuità a #a#, ma #lim_(xrarra)f(x)# allora … Leggi tutto

Come trova la seconda derivata dalla differenziazione implicita? Cerchiamo di trovare #{d^2y}/{dx^2}# for #x^3+y^3=1#. Innanzitutto, cerchiamo di trovare #{dy}/{dx}#. #x^3+y^3=1# differenziando rispetto a #x#, #Rightarrow 3x^2+3y^2{dy}/{dx}=0# sottraendo #3x^2#, #Rightarrow3y^2{dy}/{dx}=-3x^2# dividendo per #3y^2#, #Rightarrow {dy}/{dx}=-{x^2}/{y^2}# Ora, cerchiamo di trovare #{d^2y}/{dx^2}#. differenziando rispetto a #x#, #Rightarrow{d^2y}/{dx^2}=-{2x cdot y^2-x^2 cdot 2y{dy}/{dx}}/{(y^2)^2} =-{2x(y^2-xy{dy}/{dx})}/{y^4}# collegando #{dy}/{dx}=-{x^2}/{y^2}#, #Rightarrow{d^2y}/{dx^2}=-{2x[y^2-xy(-x^2/y^2)]}/y^4=-{2x(y^2+x^3/y)}/y^4# moltiplicando il numeratore … Leggi tutto

Come si trova il punto sulla linea # y = 4x + 7 # che è il più vicino al punto (0, -3)? La distanza tra e il punto arbitrario #(x,y)=(x,4x+7)# su questa linea e il punto #(0,-3)# is #sqrt{(x-0)^2+(4x+7-(-3))^2}=sqrt{17x^{2}+80x+100}#. La minimizzazione della distanza al quadrato avverrà allo stesso valore di #x# dove la distanza … Leggi tutto