Che cos'è una soluzione di equilibrio per un'equazione differenziale?

Suppongo che intendi la soluzione di stato stazionario per un'equazione differenziale parziale. Ad esempio, considera il equazione del calore per un'asta uniforme 1D di lunghezza finita #L#:

#(delu)/(delt) = k(del^2u)/(delx^2)#

where #k# is a constant.

Per un problema di equilibrio (termico), supponiamo che la variazione di temperatura sia zero, cioè #(delu)/(delt) = 0#, ottenere:

#0 = k(del^2u)/(delx^2) = (del^2u)/(delx^2)#

Pertanto, il cambiamento di temperatura attraverso l'asta è lineare, cioè hai un gradiente di temperatura lineare:

#int int ((del^2u)/(delx^2))dx^2#

#= (d^2)/(dx^2)int int udx^2#
(Leibniz's rule)

#= u = int c_1dx#

#= c_1x + c_2#

Ad esempio, supponiamo che tu abbia le due condizioni al contorno di Dirichlet:

#u(0,t) = 0#
#u(L,t) = T#

Quindi avresti dalla prima condizione al contorno:

#c_1(0) + c_2 = 0#

#=> c_2 = 0#

Così:

#c_1L = T# from the second boundary condition, and:

#=> c_1 = T/L#

e avremmo:

#color(blue)(u(x) = (T/L)x)#